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Exercícios Resolvidos de Interpolação por Sistema Linear

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Enunciado

Verifique que os polinômios p 1 x = 2 - x e p 2 x = x 2 - 4 x + 4 interpolam a tabela:

Explique porque isso não contradiz o teorema da existência e unicidade do polinômio interpolador.

Passo 1

Se os polinômios interpolam a tabela, então eles passam pelos pontos da tabela. Vamos verificar:

p 1 1 = 2 - 1 = 1 = y 1

p 1 2 = 2 - 2 = 0 = y 2

p 2 1 = 1 - 4 + 4 = 1 = y 1

p 2 2 = 4 - 8 + 4 = 0 = y 2

Passo 2

Beleza, mostramos que eles interpolam a tabela. Agora porque isso não contradiz o teorema da existência e unicidade?

Esse teorema diz que, dados n + 1 nós de interpolação x 0 , x 1 , … , x n , se todos esses nós forem diferentes, nosso sistema terá uma solução única. Ou seja, existe apenas um polinômio p n x de grau n que interpola f x nos n + 1 pontos conhecidos.

Reparou que especificamos o grau de p n x ? Como no enunciado temos 2 nós de interpolação, então o teorema nos diz que existe uma única função de grau 1 que interpola esses nós. Ou seja, o fato de existir uma função do segundo grau não contradiz de maneira nenhuma o teorema.

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