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Exercícios Resolvidos de Interpolação por Sistema Linear

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Enunciado

Dada a tabela abaixo, calcule e 3.1 usando um polinômio de interpolação sobre três pontos.

Passo 1

Bom, esse é um exercício bem tranquilo né? É só pra gente dar uma treinada, uma fixada. Vamos lá!

Como queremos saber o valor de f x em 3.1 , vamos escolher 3 pontos próximos de 3.1 . Poderiam ser outros? Sim, nada impede, já que o intuito da interpolação é justamente achar um polinômio que interpole fora de um intervalo dado. Mas vamos pegar pontos perto do que a gente quer para melhorar nossa precisão. Afinal, vai que a gente pegue valores distantes e nossa interpolação não fique fiel o suficiente em 3.1 , tudo é possível né rs. Estamos pegando apenas 3 pontos dentre os 8 disponíveis, erros podem acontecer, ok?

Bem, como estamos interpolando usando 3 pontos chegaremos a um polinômio de segundo grau:

p 2 x = a 0 + a 1 x + a 2 x 2

E como o polinômio interpolador deve ter o mesmo valor da função nos nós de interpolação:

p 2 2.8 = e 2.8 ⇔ a 0 + a 1 2.8 + a 2 2.8 2 = 16.44

p 2 3.0 = e 3.0 ⟺ a 0 + a 1 3.0 + a 2 3.0 2 = 20.08

p 2 3.2 = e 3.2 ⟺ a 0 + a 1 3.2 + a 2 3.2 2 = 24.53

Agora passando para a forma matricial:

1 2.8 7.84 1 3.0 9.0 1 3.2 10.24 a 0 a 1 a 2 = 16.44 20.08 24.53

Passo 2

Agora calculamos esse sistema aí da forma que achar melhor. Vamos por eliminação de Gauss:

1 2.8 7.84 1 3.0 9.0 1 3.2 10.24 16.44 20.08 24.53

→ L 2 ← L 2 - L 1 L 3 ← L 3 - L 1

1 2.8 7.84 0 0.2 1.16 0 0.4 2.4 16.44 3.64 8.09

→ L 3 ← L 3 - 2 L 2

1 2.8 7.84 0 0.2 1.16 0 0 0.08 16.44 3.64 0.81

Disso temos:

a 2 = 0.81 0.08 = 10.125

0.2 a 1 = 3.64 - 1.16 10.125

a 1 = - 40.525

a 0 = 16.44 - 2.8 - 40.525 - 7.84 10.125

a 0 = 50.53

p 2 x = 50.53 - 40.525 x + 10.125 x 2

Passo 3

Show, achamos o polinômio interpolador, mas nosso trabalho não terminou ainda! Temos que jogar o 3.1 na função:

p 2 3.1 = 50.53 - 40.525 3.1 + 10.125 3.1 2

p 2 3.1 = 22.20375

Resposta

p 2 3.1 = 22.20375

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