Exercícios Resolvidos de Intervalo de Confiança para Diferença entre Proporções

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Enunciado

Um biólogo está interessado em saber a diferença entre as proporções populacionais p 1 e p 2 de duas espécies de peixes que habitam em um lago. Para isso, ele recolheu uma amostra de 150 peixes e observou que 45 % deles era da espécie 1, e 36 % era da espécie 2. Construa um IC para a diferença ( p 1 - p 2 ) a um nível de confiança de 95 % .

Que conclusão pode ser tomada quanto aos valores desse IC? É possível afirmar qual das duas proporções populacionais é maior?

Passo 1

São dadas no enunciado duas proporções amostrais:

p ^ 1 = 0,45

p ^ 2 = 0,36

E essas duas proporções forem obtidas a partir de uma amostra de 150 peixes, então:

n = m = 150

Passo 2

Sabemos que o IC para diferença de proporções é dado por:

I C = ( p ^ 1 - p ^ 2 ) ∓ z 1 - α 2 p ^ 1 ( 1 - p ^ 1 ) n + p ^ 2 ( 1 - p ^ 2 ) m

Como o nível de confiança pedido é de 95 % :

1 - α = 0,95 → α = 0,05

Então:

z 1 - α 2 = z 1 - 0,05 2 = z 0,975 = 1,96

Passo 3

Substituindo todos os valores na fórmula:

I C = ( 0,4 5 - 0,36 ∓ 1,96 0,45 ( 1 - 0,45 ) 150 + 0,36 ( 1 - 0,36 ) 150

I C = ( 0,09 ∓ 0 , 08 06 )

I C = ( - 0,0 094 ; 0 , 1706 )

Opa, então mostramos que a esse nível de confiança, existem chances do nosso IC ser negativo, ou seja, chances de p 1 - p 2 < 0 , que é a mesma coisa que dizer que a proporção de peixes da espécie 2 é maior que a de espécie 1. Mas como também temos resultados positivos no intervalo, existem chances de p 1 - p 2 > 0 , o que significaria que a proporção de peixes da espécie 1 é a maior. Ou seja, não podemos afirmar qual proporção populacional é a maior pois existem valores positivos e negativos no nosso IC!

Resposta

I C = ( - 0,0094 ; 0,1706 )

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