Exercícios Resolvidos de Introdução à Cinemática de Corpos Rígidos

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Enunciado

01) Um Corpo rígido de massa m é formado por duas barras, A C e B D , soldadas perpendicularmente em C (ponto médio de B D ), conforme ilustrado na figura. Estas barras são homogêneas, esbeltas e tem comprimento 2 L   cada. A extremidade A do corpo rígido encontra-se articulada a um bloco que desliza sobre uma guia horizontal com uma aceleração a i → , conhecida. Pede-se:

a) O vetor posição ( G - A ) do centro de massa G do corpo rígido formado pelas barras A C e B D .

b) O momento de inércia J A , do corpo rígido com respeito ao eixo A z .

c) O diagrama de corpo livre do corpo rígido.

d) O valor do ângulo θ para o qual a aceleração angular do corpo rígido é nula.

Dado: o momento de inércia de uma barra homogênea e esbelta de massa m e comprimento L com respeito a um eixo perpendicular passante por seu centro de massa é igual a m L 2 / 12 .

Passo 1

Faaala gente bonita, como vocês estão?

Nessa questão temos um corpo rígido meio diferente, imagina pegar duas barras e juntá-las formando um T, pronto, esse é o corpo ABCD. Essa estrutura encontra-se articulada em A , um bloco que desliza horizontalmente, com aceleração a i → .

a) Aqui devemos encontrar o vetor G - A , que liga A e o centro de massa G do corpo rígido.

Beleza, mas como podemos calcular o centro de massa desse corpo tão diferente?

Então, a ideia é primeiro calcular o centro de massa de cada uma das barras, e depois realizar uma média ponderada usando os vetores de cada um dos CM’s em relação a A , pra já sair com a resposta.

Começando pela barra A C , como ela é homogênea, temos um centro de massa M bem no seu meio. Logo:

M - A = L ( c o s θ i → + s e n θ j → )

Analogamente, para a barra B D , o seu centro de massa está no seu centro (o ponto C ). Assim:

C - A = 2 L ( c o s θ i → + s e n θ j → )

Juntando as duas, para descobrir o vetor G - A , podemos usar a seguinte média ponderada:

G - A = M A C ⋅ M - A + M B C ⋅ C - A M A C + M B D

Top!

No enunciado também é falado que a massa total do corpo rígido, M é dada por:

M A C + M B D = m

Com as barras são idênticas, temos:

M A C = M B D = m 2

Substituindo na nossa média ponderada, vem:

G - A = m 2 ⋅ M - A + m 2 ⋅ C - A m

⇒ G - A = 1 2 ⋅ L c o s θ i → + s e n θ j → +   2 L ( c o s θ i → + s e n θ j → ) )

Logo:

G - A = 3 L 2 ( c o s θ i → + s e n θ j → )

Bouaaa! De uma vez só já encontramos esse vetor.

Vamo pra próxima!

Passo 2

b) Agora devemos determinar o momento de inércia J z em relação ao eixo A Z .

Como foi dado no enunciado, o momento de inércia de uma barra homogênea, esbelta, de comprimento L , toda perfeitinha, em relação a um eixo que passa pelo seu centro geométrico vale:

J G = m L 2 12

Beleza... o problema é que nosso corpo rígido não é uma barra esbelta, ele tem a forma de T. E aí, o que dá pra fazer nesse caso?

Calma Buzz, tem uma ideia legal! Podemos considerar o corpo rígido com a junção das barras A C e B D , e daí considerar:

J A Z = J A Z A C + J A Z B D

Top! Vamo começar pela barra A C .

Pelo dado da questão, sabemos que:

J M A C = m 2 ⋅ ( 2 L ) 2 12

J M A C = m L 2 6

Só que isso é em relação a M Z , pra descobrir em relação a A Z podemos usar o teorema dos eixos paralelos. Daí, por ele, vem:

J A Z A C = J M A C + m 2 ⋅ L 2

⇒ J A Z A C = 2 m L 2 3

Seguindo o mesmo raciocínio para a barra B D , temos:

J C B D = m 2 ⋅ 2 L 2 12 = m L 2 6

Aplicando o teorema dos eixos paralelos, vem:

J A Z B D = J C B D + m 2 ⋅ 2 L 2

⇒ J A Z B D = m L 2 6 + 2 m L 2

∴ J A Z B D = 13 m L 2 6

Excelente! Somando o momento de inércia das duas barras, vamos ter:

J A Z = J A Z A C + J A Z B D

J A Z = 2 m L 2 3 + 13 m L 2 6

∴ J A Z = 17 m L 2 6

Bouaaa! Conseguiram entender bem essa ideia? Anota ela aí que essa foi ótima 😊

Passo 3

c) Devemos desenhar o diagrama de corpo livre D C L do corpo rígido.

Pra desenhar o DCL é bizu sempre começar identificando as forças que agem no corpo.

Assim, em A B C D , temos a força peso do conjunto agindo em G , como também as reações horizontal e vertical no apoio em A .

E é só isso mesmo, desenhando temos:

Passo 4

d) Finalmenteee, chegamos à última parte da questão.

Pra finalizar, precisamos determinar o valor de θ para que o corpo rígido tenha aceleração angular nula.

O negócio é pensar com calma, a gente quer usar a informação de que α = 0 pra determinar o valor de θ . Então bora partir pro TQMA, com polo em A . Como α = 0 , temos:

m G - A × a → A = M → A

Só que, pelo próprio DCL do corpo rígido, podemos perceber que:

M → A = G - A × - m g j →

Assim, igualando as duas expressões e lembrando também que a → A = a i → , vem:

m G - A × a → A =   G - A × - m g j →

m 3 L 2 c o s θ i → + s e n θ j → × a i → = 3 L 2 c o s θ i → + s e n θ j → × - m g j →

Daí:

- 3 m L a s e n θ 2 k → =   - 3 m L g 2 c o s θ k →

⇒ a s e n θ = g c o s θ

Portanto:

t g θ =   g a

∴ θ = a r c t g g a

Aeeee, Prontinho! Mais uma questão encerrada.

Vamo continuar no gás galera!! Força hahaha

Resposta

a) G - A = 3 L 2 ( c o s θ i → + s e n θ j → )

b)

J A Z = 17 m L 2 6

c) Resolução no texto.

d)

θ = a r c t g g a

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