Enunciado

A velocidade de um automóvel, inicialmente em repouso em s = 0 , varia de acordo com v ˙ = 0,05 t 2   p é s / s 2 , onde t é dado em segundos. Determine os módulos a )   da velocidade e b )   da aceleração do carro quando t = 18   s .

Passo 1

O enunciado nos deu a aceleração do carro como uma função do tempo:

a = v ˙ = 0,05 t 2   p é s / s 2

Então, no tempo t = 18   s vamos ter o seguinte valor para aceleração:

a = 0,05 ( 18 ) 2

a = 16,2   p é s / s 2

E a velocidade? Se precisamos derivar a velocidade com relação ao tempo para achar a aceleração... Se o que temos é a aceleração, como fazemos para achar a velocidade? É isso aí, temos que integrar:

a =   d v d t           →               v = ∫ t 0 t f a d t

v = ∫ t 0 t f 0,05 t 2 d t

Considerando t 0 = 0 :

v = 0,05 t 3 3

Então, no tempo t = 18   s :

v = 0,05 ( 18 ) 3 3

v = 97,2   p é s / s

Passo 2

Agora, repare pelo desenho que o carro anda 300   p é s em um trecho retilíneo e depois começa a fazer uma trajetória circular. Temos que analisar se em t = 18   s o carro está na parte reta ou já entrou na curva. Para isso, vamos achar a posição final do carro.

v =   d s d t

Sabemos que a velocidade é a derivada do deslocamento com relação ao tempo. Então, se temos a equação da velocidade em função do tempo, como iremos calcular o deslocamento? É só integrar a equação da velocidade:

v =   d s d t           →               ∫ s 0 s f d s = ∫ t 0 t f v d t

O enunciado nos disse que o carro parte do repouso e   s 0 = 0 , então:

s = ∫ t 0 t f 0,05 t 3 3 d t

s = 0,05 t 4 12

Então, no tempo t = 18   s vamos ter que:

s = 0,05 t 4 12           →                 s = 0,05 ( 18 ) 4 12

s = 437,4   p é s

Ou seja, o carro percorreu toda a parte reta e entrou na curva!

Passo 3

A velocidade final no tempo t = 18   s não muda independentemente do movimento se dar numa reta ou numa curva. Mas.... A aceleração não será a mesma. Lembra que o movimento retilíneo pode possuir duas componentes: a aceleração centrípeta e a aceleração tangencial.

E por que eu disse pode possuir? Porque a componente tangencial só existe quando há variação de velocidade. O que ocorre no nosso caso, pois o carro começa com uma velocidade inicial zero e desenvolve uma velocidade que varia em função do tempo.

Então, vamos calcular cada componente da aceleração e depois achar a resultante.

No movimento curvilíneo a aceleração tangencial é calculada usando a equação que foi dado no enunciado para   t = 18   s :

a t = 0,05 ( 18 ) 2         →           a t = 16,2   p é s / s 2

A aceleração centrípeta é calculada usando a seguinte fórmula:

a n = v 2 ρ

Onde, ρ é o raio da curvatura. No nosso caso ρ = 240   p é s .

A velocidade nós vimos que não muda, então v = 97,2   p é s / s . Portanto, a aceleração centrípeta será:

a n = v 2 ρ           →           a n = ( 97,2 ) 2 240

a n = 39,37   p é s / s 2

Vamos calcular o módulo da aceleração agora:

a → = a t 2 + a n 2

a → = 16,2   2 + 39,37 2

a → = 42,57   p é s / s 2    

Resposta

a )   v = 97,2   p é s / s

b )   a = 42,57   p é s / s 2    

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