Exercícios Resolvidos de Introdução à Cinemática de Corpos Rígidos

Ver Teoria

Enunciado

01) Uma polia de centro D , raio R e peso P , é vinculada à extremidade D da barra B C D . Um bloco de peso Q mantém-se em equilíbrio suspenso por um fio ideal apoiado sobre a polia e ligado à barra A E C , conforme indicado na figura. As barras A E C e B C D , ambas de peso desprezível, são ligadas entre si através da articulação C . A extremidade A da barra A E C apoia-se em uma parede vertical rugosa, ao passo que a extremidade B da barra B C D é vinculada a essa parede por meio da articulação B . Pede-se:

a) desenhar os diagramas de corpo livre da polia e das barras B C D e A E C ;

b) determinar os esforços reativos em A e em B ;

c) determinar o valor mínimo do coeficiente de atrito μ e para que o conjunto se mantenha em equilíbrio estático.

Passo 1

Faaala galerinha, como vocês estão?

a) Nessa questão temos uma estrutura em equilíbrio estático. Ela é composta por uma polia e duas barras, A E C e B C D , que estão articuladas entre si no ponto C . A barra A E C apoia-se numa parede rugosa, já B C D está articulada na parede no ponto B .

Nesse primeiro item devemos desenhar o diagrama de corpo livre (DCL) da polia e das barras.

Sempre que queremos fazer DCL’s é importante identificar primeiro as forças que estão agindo em cada elemento.

Começando pela barra B C D , ela está articulada em três pontos. Cada um desses fornecerá uma reação no eixo i → , e outra no eixo j → . Daí, é só supor algum sentido inicial, temos:

Show! Já na barra A E C temos apenas 1 ponto de articulação (ponto C ), onde também teremos duas reações, uma em j → e outra em i → .

Além disso, também é falado que essa barra está apoiada na parede rugosa. Assim, por estar apoiada na parede, ela recebe uma normal no sentido - i → , e pela parede ser rugosa, há uma força de atrito apontando para j → .

Por fim, o fio preso ao peso Q também está preso na extremidade de A E C .

Logo:

Uma observação importante é que, como o nó C está em equilíbrio (resultante nula), já desenhamos as reações que essa articulação faz na barra A E C como sendo o oposto da reação que a mesma articulação faz em B C D .

Por último, temos a nossa querida polia.

Basicamente, temos a articulação em D , que também provoca uma reação em i → e outra em j → .

Temos também a reação à força que o fio faz na polia, tanto na direção vertical como horizontal. Daí, podemos desenhar:

Só precisamos tomar cuidado com o sentido de Q , pois eles devem ser opostos no DCL da polia e da barra, já que se trata de um par ação e reação 😊

Passo 2

b) Agora nosso objetivo é determinar os esforços reativos, ou seja, N e F a t agindo em A , como também X B e Y B que atuam em B .

Pô, e como que a gente faz pra relacionar todas essas variáveis em equações?

Isso! É só usar a 2 °   lei de Newton, ou o teorema da resultante, para cada um dos elementos. Lembrando que tudo está em equilíbrio, logo a → = 0 .

Começando pela Polia:

R → p o l i a = 0 ∴ X D + Q = 0 Y D - P - Q = 0

Logo:

X D = - Q Y D = P + Q

Massa! Bora analisar a barra B C D :

R → B C D = 0 ∴   X B + X C -     X D = 0 Y C + Y B - Y D = 0

Substituindo as equações da polia, vem:

X B + X C =   - Q Y C + Y B = P + Q

Escrevendo a equação do momento em relação a D , temos também:

Y C ⋅ 3 R + Y B ⋅ 5 R = 0

∴ Y C =   - 5 3 Y B

Daí:

Y C + Y B = Y B - 5 3 + 1

Só que:

Y C + Y B = P + Q

Assim:

Y B ⋅ - 2 3 = P + Q

∴ Y B =   - 3 P + Q 2

⇒ Y C = 5 P + Q 2

Boa! Já descobrimos algumas variáveis.

Passo 3

Por último, pra calcular as variáveis que faltam, vamos escrever as equações do equilíbrio para a barra A E C :

R → A E C = 0 ∴ - Q - X C - N = 0 F a t - Y C = 0

Daí, já temos que:

F a t = Y C

⇒ F a t = 5 P + Q 2

Aplicando o momento em relação a C , também podemos escrever:

Q ⋅ R - N ⋅ 2 R + F a t ⋅ 2 R = 0

Isolando a normal N , vem:

Q 2 + F a t = N

∴ N = Q 2 + 5 P + Q 2

N = 5 P + 6 Q 2

Excelente! Substituindo esse resultado na equação escalar do equilíbrio em i → da barra A E C , ficamos com:

X C =   - Q - N

X C =   - 5 P - 8 Q 2

Como pra matar esse item só falta descobrir o valor de X B , bora substituir esse resultado na equação em i → , da barra B C D . Logo:

X B + X C =   - Q

X B =   - Q - X C

⇒ X B =   - Q + 5 P + 8 Q 2

∴ X B = 5 P + 6 Q 2

Prontinho! Matamos mais um item.

Passo 4

c) Pra finalizar o último item dessa questão, devemos calcular o valor mínimo do coeficiente de atrito entre a barra e a parede, de modo que o conjunto permaneça em equilíbrio.

Mas eaí, vocês lembram da fórmula da força de atrito?

Hahaha, pegadinha galera! Isso é algo que muita gente confunde, mas na real que a força de atrito não tem fórmula mesmo. O que ela tem é apenas uma desigualdade que determina o seu valor máximo:

F a t ≤ μ e ⋅ N

Assim, substituindo os valores que já calculamos anteriormente, temos:

5 P + Q 2 ≤   μ e ⋅ 5 P + 6 Q 2

μ e ≥ 5 P + Q 5 P + 6 Q

Logo, o valor mínimo do coeficiente de atrito acontece exatamente na igualdade:

μ e = 5 P + Q 5 P + 6 Q

Ufaaa!! Terminamos mais uma questão 😊

Espero que vocês tenham entendido bem direitinho, até a próxima galera!!

Resposta

a) Resolução no texto

b)

Y B =   - 3 P + Q 2

X B = 5 P + 6 Q 2

F a t = 5 P + Q 2

N = 5 P + 6 Q 2

c)

μ e = 5 P + Q 5 P + 6 Q

Exercícios de Livros Relacionados

O caminhão transporta uma bobina com 1500m m de diâmetro de um cabo com massa de 0,75k g por metro de comprimento. Existem 150 voltas na bobina cheia. A bobina vazia possui uma massa de 140k g , com r
Os pequenos roletes nas extremidades da barra esbelta uniforme de 3,6k g estão limitados a se deslocar nas ranhuras que se situam em um plano vertical. No instante em que θ = 30 ° , a velocidade angul
O conjunto mostrado na figura tem massa de 6 kg e consiste em quatro placas finas semicirculares de alumínio com 400 mm de diâmetro, soldadas a um eixo leve AB de 1 m de comprimento. O conjunto está e
As pás de um ventilador oscilante e o rotor de seu motor têm massa total de 250 g e um raio de giração combinado de 75 mm. Eles estão apoiados em mancais em A e B, distantes de 125 mm, e giram à taxa
Para o conjunto do Problema 18.77, determine as reações dinâmicas em A e B em t = 2 s.PROBLEMA 18.77 O conjunto mostrado na figura tem massa de 6 kg e consiste em quatro placas finas semicirculares de