Exercícios Resolvidos de Matrizes que Representam TL: Aplicação

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Enunciado

Sabendo que:

α = 1,0 , 0 , 1,1 , 0 , 0,1 , 1

v = 2 , - 1,3

E que T foi gerada a partir de:

T 1,0 , 0 = - 2,0 , 0

T 1,1 , 0 = 3,3 , 0

  T 0,1 , 1 = ( 0 , - 1 , - 1 )

E que:

T x , y , z = - 2 x + 5 y - 5 z , 3 y - 4 z , - z

a   Calcule T α v α

b   Calcule T v α

c   Compare os dois resultados.

Passo 1

a   Primeiramente, vamos calcular a matriz que representa T na base α :

T α = ↑ ↑ ↑ T 1,0 , 0 α T 1,1 , 0 α T 0,1 , 1 α ↓ ↓ ↓

Pelo enunciado sabemos que:

T 1,0 , 0 = ( - 2,0 , 0 )

T 1,1 , 0 = 3,3 , 0

T 0,1 , 1 = ( 0 , - 1 , - 1 )

Escrevendo cada um dos vetores nas coordenadas da base α :

- 2,0 , 0 = - 2 1,0 , 0 + 0 1,1 , 0 + 0 0,1 , 1

3,3 , 0 = 0 1,0 , 0 + 3 1,1 , 0 + 0 0,1 , 1

0 , - 1 , - 1 = 0 1,0 , 0 + 0 1,1 , 0 - 1 0,1 , 1

Repare que não tivemos trabalho algum para construir a matriz desta vez. Tudo depende da base que você escolhe para fazer a matriz!

Passo 2

Assim concluímos que:

- 2,0 , 0 α = - 2 0 0

3,3 , 0 α = 0 3 0

0 , - 1 , - 1 α = 0 0 - 1

E a matriz que representa T na base α fica assim:

T α = - 2 0 0 0 3 0 0 0 - 1

Passo 3

Agora falta escrever v nas coordenadas da base α . Com uma simples conta, vemos que:

2 , - 1,3 = 6 1,0 , 0 - 4 1,1 , 0 + 3 0,1 , 1

Portanto:

[ 2 , - 1,3 ] α = 6 - 4 3

Passo 4

Multiplicando as matrizes temos:

  T α v α = - 2 0 0 0 3 0 0 0 - 1 ∙ 6 - 4 3 = - 12 - 12 - 3

Passo 5

b   Para calcular a imagem de v , vamos usar a fórmula dada:

T 2 , - 1,3 = - 2.2 + 5 - 1 - 5.3 ,   3 - 1 - 4.3 , - 3 ⇒

T 2 , - 1,3 = ( - 24 , - 15 , - 3 )

Agora, não tem jeito! Temos que montar um sistema para calcular suas coordenadas na base α .

- 24 , - 15 , - 3 = a 1,0 , 0 + b 1,1 , 0 + c 0,1 , 1 = ( a + b , b + c , c )

a + b = - 24 ⇒ a = - 12 b + c = - 15 ⇒ b = - 12 c = - 3

T v α = - 12 - 12 - 3

Passo 6

c   Os resultados deram iguais devido ao teorema abaixo:

Resposta

a   T α v α = - 12 - 12 - 3

b   T v α = - 12 - 12 - 3

c   São iguais

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Ache a transformação linear T : R 3 → R 2 tal que T 1,0 , 0 = ( 2,0 ) , T 0,1 , 0 = 1,1 e T 0,0 , 1 = ( 0 , - 1 ) .Encontre v de R 3 tal que T v = ( 3,2 ) .
Encontre a expressão da transformação linear T :R 3 → R 3 que é uma rotação de π 3 em torno da reta que passa pela origem e tem a direção do vetor ( 1 ,1 ,0 ) .
Dados T : U → V linear e injetora e u 1 , u 2 , … ,u k , vetores L I em U mostre que T u 1 ,… ,T ( u k ) é L I .
Seja T : V → W uma função. Mostre que:Se T é uma transformação linear, então T 0 = 0 Se T 0 ≠ 0 , então T não é uma transformação linear.
Dê quando possível, exemplos de transformações lineares T , S , L , MeH satisfazendo: T : R 3 → R 2 , sobrejetora. S : R 3 → R 2 , com ker ⁡ S = 0,0 , 0 L : R 3 → R 2 , com I mL = 0,0 M : R 2 → R 2 ,