Exercícios Resolvidos de Matrizes que Representam TL: Aplicação

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Enunciado

Seja T : R 3 → R ³ a transformação linear tal que:

T 1,0 , 2 = 1,0 , 2

T 0,1 , 2 = 0,0 , 0

T 0,0 , 1 = 0,0 , - 1

Se A é a matriz que representa T com respeito à base canônica de R ³ , então a soma dos elementos na segunda coluna da matriz A 1000 é igual a:

a) - 1

b) 1

c) 0

d) 2

e) - 2

Passo 1

E aíí galera, vamos lá

Temos uma transformação linear T sendo que:

T 1,0 , 2 = 1,0 , 2

T 0,1 , 2 = 0,0 , 0

T 0,0 , 1 = 0,0 , - 1

E aí temos uma matriz A que é a matriz da transformação linear T na base canônica C , ou seja:

A = T C

E queremos encontrar a matriz A 1000 , isso mesmo, uma matriz elevada ao expoente 1000

Caaalma, tem um passo a passo pra isso

Primeiro, como estamos falando da matriz da transformação linear, vamos ter que começar encontrando a sua representação matricial na base canônica C = 1,0 , 0 , 0,1 , 0 , 0,0 , 1 . Essa vai ser a matriz A

Bora lá então??

Passo 2

Vamos começar encontrando a matriz dessa transformação linear na base canônica

T 1,0 , 2 = 1,0 , 2

T 0,1 , 2 = 0,0 , 0

T 0,0 , 1 = 0,0 , - 1

Para isso, vamos colocar T 1,0 , 0 ,   T ( 0,1 , 0 ) e T ( 0,0 , 1 ) nas colunas de uma matriz

Ok, mas não temos T ( 1,0 , 0 ) e nem T 0,1 , 0 ... Não ☹ mas partindo dos vetores 1,0 , 2 ,   ( 0,1 , 2 ) e 0,0 , 1 , podemos fazer uma combinação linear para chegarmos nos vetores que queremos. E com isso podemos encontrar T 1,0 , 0 ,   T ( 0,1 , 0 )

Por exemplo, sabemos que

1,0 , 0 = 1,0 , 2 - 2 . 0,0 , 1

Aplicando transformação linear dos dois lados, temos

T 1,0 , 0 = T 1,0 , 2 - 2 . 0,0 , 1

Por definição de transformação linear, temos que T a + b = T a + T ( b ) , então

T 1,0 , 0 = T 1,0 , 2 - T 2 . 0,0 , 1

E também sabemos que T λ . a = λ . T a :

T 1,0 , 0 = T 1,0 , 2 - 2 . T 0,0 , 1

Sabemos que T 1,0 , 2 = 1,0 , 2 e T 0,0 , 1 = 0,0 , - 1 , então

T 1,0 , 0 = 1,0 , 2 - 2 . 0,0 , - 1

T 1,0 , 0 = 1,0 , 2 - 0,0 , - 2

Então, já temos a primeira transformação que precisamos:

T 1,0 , 0 = 1,0 , 4

Boa!! Agora vamos encontrar T 0,1 , 0 usando o mesmo esquema :P

Passo 3

Podemos escrever o vetor 0,1 , 0 assim:

0,1 , 0 = 0,1 , 2 - 2 . ( 0,0 , 1 )

Aplicando transformação linear dos dois lados:

T 0,1 , 0 = T 0,1 , 2 - 2 . 0,0 , 1

T 0,1 , 0 = T 0,1 , 2 - 2 . T 0,0 , 1

Temos que T 0,1 , 2 = 0,0 , 0 e T 0,0 , 1 = 0,0 , - 1 , então

T 0,1 , 0 = 0,0 , 0 - 2 . 0,0 , - 1

Então:

T 0,1 , 0 = 0,0 , 2

Boaaaa! Então já temos a transformação dos elementos da base canônica!!

Passo 4

Já sabemos a transformação T dos elementos da base canônica:

T 1,0 , 0 = 1,0 , 4

T 0,1 , 0 = 0,0 , 2

T 0,0 , 1 = 0,0 , - 1

Agora é só colocar isso nas colunas de uma matriz para termos a matriz A , que é a matriz da transformação T na base canônica

A = 1 0 0 0 0 0 4 2 - 1

Boaaaa! Então a matriz A já temos!

Agora vamos lá pensar como vai ficar essa matriz elevada a 1000

Passo 5

Temos essa matriz A

A = 1 0 0 0 0 0 4 2 - 1

E queremos encontrar A 1000 . Temos duas formas de fazer isso:

- Podemos encontrar a decomposição espectral dessa matriz, escrevendo como A = P . D . P - 1 . E então elevamos a matriz diagonal D ao expoente 1000

- Ou então, podemos ver se achamos algum padrão de potência na matriz A . Como ela é uma matriz cheia de zeros, não deve mudar muito quando elevamos a 2 ,   3 ,   … 1000

Então vamos tentar reconhecer esse padrão?

Se elevarmos a matriz ao quadrado, vamos ter

A 2 = 1 0 0 0 0 0 4 2 - 1 . 1 0 0 0 0 0 4 2 - 1 = 1 0 0 0 0 0 0 - 2 1

Se fizermos A ³ , temos

A 3 = 1 0 0 0 0 0 0 - 2 1 . 1 0 0 0 0 0 4 2 - 1 = 1 0 0 0 0 0 4 2 - 1

Fazendo A 4 :

A 4 = 1 0 0 0 0 0 4 2 - 1 . 1 0 0 0 0 0 4 2 - 1 = 1 0 0 0 0 0 0 - 2 1

Opa opa opa! Nós estamos caindo em um loop!!!

Quando temos um expoente n ímpar, vamos ter

A n = A

E quando temos um expoente n par, vamos ter

A n = 1 0 0 0 0 0 0 - 2 1

Passo 6

Como queremos elevar nossa matriz a 1000 , que é um número par, vamos ter

A 1000 = 1 0 0 0 0 0 0 - 2 1

E como queremos a soma dos elementos da segunda coluna, vamos ter

0 + 0 + - 2 = - 2

Portanto, a alternativa correta é a letra E :D

Uhhh, essa foi longa hein hahahaha

Resposta

e) - 2

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Ache a transformação linear T : R 3 → R 2 tal que T 1,0 , 0 = ( 2,0 ) , T 0,1 , 0 = 1,1 e T 0,0 , 1 = ( 0 , - 1 ) .Encontre v de R 3 tal que T v = ( 3,2 ) .
Encontre a expressão da transformação linear T :R 3 → R 3 que é uma rotação de π 3 em torno da reta que passa pela origem e tem a direção do vetor ( 1 ,1 ,0 ) .
Dados T : U → V linear e injetora e u 1 , u 2 , … ,u k , vetores L I em U mostre que T u 1 ,… ,T ( u k ) é L I .
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Dê quando possível, exemplos de transformações lineares T , S , L , MeH satisfazendo: T : R 3 → R 2 , sobrejetora. S : R 3 → R 2 , com ker ⁡ S = 0,0 , 0 L : R 3 → R 2 , com I mL = 0,0 M : R 2 → R 2 ,