Exercícios Resolvidos de Matrizes que Representam TL: Aplicação

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Enunciado

Seja T : P 1 → P 1 uma transformação linear. E sejam α = 1 + x , 1 - x e β = 2 , - x bases do P 1 . Considere T β α = 1 2 2 2

a Para v = 1 + 3 x , determine T v

Passo 1

a Temos que:

T v β = T β α ∙ v α

Então primeiro passamos v para a base α :

1 + 3 x = a 1 + x + b 1 - x

1 + 3 x = a + b + a - b x

a + b = 1 a - b = 3

Somando as equações:

2 a = 4

a = 2

Substituindo na primeira:

b = - 1

Logo,

v α = 2 , - 1

Passo 2

Agora fazemos o produto:

T v β = T β α ∙ v α = 1 2 2 2 2 - 1 = 0 2

Agora é só passarmos para a base canônica:

T v β = 0,2

T v = 0 ∙ 2 + 2 ∙ - x = - 2 x

Resposta

a T v = - 2 x

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Ache a transformação linear T : R 3 → R 2 tal que T 1,0 , 0 = ( 2,0 ) , T 0,1 , 0 = 1,1 e T 0,0 , 1 = ( 0 , - 1 ) .Encontre v de R 3 tal que T v = ( 3,2 ) .
Encontre a expressão da transformação linear T :R 3 → R 3 que é uma rotação de π 3 em torno da reta que passa pela origem e tem a direção do vetor ( 1 ,1 ,0 ) .
Dados T : U → V linear e injetora e u 1 , u 2 , … ,u k , vetores L I em U mostre que T u 1 ,… ,T ( u k ) é L I .
Seja T : V → W uma função. Mostre que:Se T é uma transformação linear, então T 0 = 0 Se T 0 ≠ 0 , então T não é uma transformação linear.
Dê quando possível, exemplos de transformações lineares T , S , L , MeH satisfazendo: T : R 3 → R 2 , sobrejetora. S : R 3 → R 2 , com ker ⁡ S = 0,0 , 0 L : R 3 → R 2 , com I mL = 0,0 M : R 2 → R 2 ,