Exercícios Resolvidos de Matrizes que Representam TL: Aplicação

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Enunciado

Sejam T : E ⟶ F uma transformação linear, β = { v 1 , v 2 , v 3 , v 4 } uma base de E e γ = { w 1 , w 2 , w 3 } uma base de F . Suponha que:

T γ ← β = 1 2 0 0 2 1 2 0 0 0 0 1

( d ) Supondo que E = P 3 ,   F = R 3 ,   β = { 1 - x ,   1 + x ,   x 2 ,   x 3 } e que γ seja a base canônica de R 3 , encontre T ( 2 - π x 3 ) .

Passo 1

Letra ( d )

Como não possuímos a expressão da T e apenas a sua matriz, vamos utilizá-la. Entretanto, antes precisamos escrever o polinômio 2 - π x 3 nas coordenadas da base β indicada:

Podemos perceber que para gerar o polinômio 2 basta fazer 1 ( 1 - x ) + 1 ( 1 + x ) = 2 e que para gerar o polinômio - π x 3 , basta multiplicar o polinômio x 3 da base por – π , e assim as coordenadas ficam:

2 - π x 3 β = 1 1 0 - π

Passo 2

Mas agora como vamos achar T ( 2 - π x 3 ) ??? Basta usar a relação:

T γ ← β ⋅ 2 - π x 3 β = T 2 - π x 3 γ

1 2 0 0 2 1 2 0 0 0 0 1 ⋅ 1 1 0 - π = 3 3 - π = T 2 - π x 3 γ

Agora basta achar T 2 - π x 3 :

T 2 - π x 3 = 3 1,0 , 0 + 3 0,1 , 0 - π 0,0 , 1 = 3,3 , - π ⇒

T 2 - π x 3 = 3,3 , - π

Resposta

( d ) T 2 - π x 3 = 3,3 , - π

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Ache a transformação linear T : R 3 → R 2 tal que T 1,0 , 0 = ( 2,0 ) , T 0,1 , 0 = 1,1 e T 0,0 , 1 = ( 0 , - 1 ) .Encontre v de R 3 tal que T v = ( 3,2 ) .
Encontre a expressão da transformação linear T :R 3 → R 3 que é uma rotação de π 3 em torno da reta que passa pela origem e tem a direção do vetor ( 1 ,1 ,0 ) .
Dados T : U → V linear e injetora e u 1 , u 2 , … ,u k , vetores L I em U mostre que T u 1 ,… ,T ( u k ) é L I .
Seja T : V → W uma função. Mostre que:Se T é uma transformação linear, então T 0 = 0 Se T 0 ≠ 0 , então T não é uma transformação linear.
Dê quando possível, exemplos de transformações lineares T , S , L , MeH satisfazendo: T : R 3 → R 2 , sobrejetora. S : R 3 → R 2 , com ker ⁡ S = 0,0 , 0 L : R 3 → R 2 , com I mL = 0,0 M : R 2 → R 2 ,