Exercícios Resolvidos de Medidas de Centralidade e Dispersão para V.A. Discreta

Variável Aleatória Discreta

Seja X uma variável aleatória discreta com espaço   = X : x = 0,1 , 2,3 , 4 .

f x = P X = x = 4 x . k 4

  1. Ache a constante " k " que faz f x uma densidade.
  2. Encontre a probabilidade de X ≥ 3 .
  3. Calcule a média e a variância de X .

Passo 1

(a)

Primeira coisa aqui, é estar ligado que esses números dentro dos parênteses indicam uma combinação de 4 a x. Ou seja,

4 x = 4 ! x ! 4 - x !

Pra saber o valor da constante é só fazer um somatório da função substituindo x pelos seus possíveis valores. Esse somatório tem que resultar em 1 .

f 0 + f 1 + f 2 + f 3 + f 4 = 1

f 0 = 4 0 . k 4 =   4 ! 0 ! 4 - 0 ! . k 4 = 4 ! 4 ! . k 4 = k 4

f 1 = 4 1 . k 4 =   4 ! 1 ! 4 - 1 ! . k 4 = 4 ! 3 ! . k 4 = 4 k 4

f 2 = 4 2 . k 4 = 4 ! 2 ! 4 - 2 ! . k 4 = 4 ! 2 ! 2 ! . k 4 = 6 k 4

f 3 = 4 3 . k 4 = 4 ! 3 ! 4 - 3 ! . k 4 = 4 ! 3 ! . k 4 = 4 k 4

f 4 = 4 4 . k 4 4 ! 4 ! 4 - 4 ! . k 4 = 4 ! 4 ! . k 4 = k 4

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora é somar e igualar a 1 .

k 4 + 4 k 4 + 6 k 4 + 4 k 4 + k 4 = 1

16 k 4 = 1

k 4 = 1 16

k = 1 2

Passo 3

(b)

Os únicos valores maiores ou iguais a 3 que x pode assumir são: 3 e 4 .

Então vamos ter que:

P X ≥ 3 = f 3 + f 4

= 4 k 4 + k 4

= 5 k 4

Substituindo k :

= 5 . 1 2 4

= 5 16

Passo 4

(c)

A média, ou esperança, de uma v.a. discreta é dada por:

E X = ∑ i = 0 n x i f i

Então tudo que a gente tem que fazer é multiplicar todos os possíveis valores de x pelas suas respectivas probabilidades e depois somar tudo...

E X = 0 × k 4 + 1 × 4 k 4 + 2 × 6 k 4 + 3 × 4 k 4 + 4 × k 4

= 4 k 4 + 12 k 4 + 12 k 4 + 4 k 4

= 32 k 4

Substituindo k :

E X = 32 . 1 2 4

= 32 16

E X = 2

Passo 5

Para a variância temos:

V a r X = ∑ i = 0 n x i 2 . f i - E X 2

Fica assim:

= 0 2 × k 4 + 1 2 × 4 k 4 + 2 2 × 6 k 4 + 3 2 × 4 k 4 + 4 2 × k 4 - 2 2

= 4 k 4 + 24 k 4 + 36 k 4 + 16 k 4 - 4

= 80 k 4 - 4

Substituindo k :

= 80 . 1 2 4 - 4

= 80 . 1 16 - 4

= 5 - 4

V a r X = 1

Resposta

a   k = 1 2

b 5 16

c   E X = 2   e   V a r X = 1

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