Exercícios Resolvidos de Medidas de Centralidade e Dispersão para V.A. Discreta

UFRJ-P1-2014.2.-2(a)(b)

Três bolas enumeradas 1 ,   2 e 3 estão num balde. Sorteamos duas bolas com reposição, e somamos os valores obtidos. Seja X este valor.

  1. Obter a função de probabilidade, a esperança e a variância de X .
  2. Refazer o item a) se as bolas forem sorteadas sem reposição.

Passo 1

X é o valor da soma das duas bolas sorteadas, beleza? Temos primeiro que montar a função de probabilidade de X .

Quais são os possíveis valores de X ? Se X é a soma de duas bolas retiradas com reposição e as bolas são 1 ,   2 e 3 , então os possíveis valores são:

B o l a   1 + B o l a   1 = 2

B o l a   1 + B o l a   2 = 3

B o l a   1 + B o l a   3 = 4

B o l a   2 + B o l a   1 = 3

B o l a   2 + B o l a   2 = 4

Note que B o l a   2 + B o l a   1 B o l a   1 + B o l a   2 , a ordem importa. Então a gente tem 9 combinações de resultados pra retirada das duas bolas.

1,1 , 1,2 , 1,3 , 2,1 , 2,2 , 2,3 , 3,1 , 3,2 , 3,3

Desse jeito a gente tem que os possíveis valores de X são: { 2,3 , 4,5 , 6 } .

Nossa variável X é uma v.a. discreta, concorda? Seus possíveis valores são números fixos, não tem como a soma das duas bolas resultar em 2,23 !

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Pra montar a função de probabilidade de uma v.a. discreta, a gente precisa montar aquela tabelinha, com os possíveis valores de X e a probabilidade de cada um desses valores acontecer.

Os possíveis valores a gente já tem: 2,3 , 4,5 , 6 .

Agora falta calcular a probabilidade de cada um, que é tranquilo.

Vamos começar por P X = 2 .

A soma das duas bolas só resulta em 2 em uma das combinações de bolas, quando sai 1,1 , daí:

P X = 2 = 1 9

Pensando dessa mesma forma a gente consegue todas as prob. que a gente quer.

P X = 3 = 2 9

P X = 4 = 3 9

P X = 5 = 2 9

P X = 6 = 1 9

Você pode até conferir se tá tudo certin, é só ver se a soma de todas as probabilidades dá 1 .

Você pode deixar sua resposta final assim, ou se tiver com tempo sobrando, colocar arrumado numa tabela maneira.

Passo 3

Vamos calcular a esperança da variável.

E X = x i . p x i

É só multiplicar os possíveis valores de X pela respectiva probabilidade dele acontecer.

E X = 2 × 1 9 + 3 × 2 9 + 4 × 3 9 + 5 × 2 9 + 6 × 1 9

= 2 + 6 + 12 + 10 + 6 9 = 36 9

E X = 4

Passo 4

Pra variância é só usar a fórmula abaixo:

V a r X = x i ² . p x i - E X 2

= 2 2 × 1 9 + 3 2 × 2 9 + 4 2 × 3 9 + 5 2 × 2 9 + 6 2 × 1 9 - 4 2

= 4 + 18 + 48 + 50 + 36 9 - 16

= 156 9 - 16

= 52 3 - 16

V a r X = 4 3

Passo 5

(b)

Po, agora vai ser sem reposição, o que que muda? Muda que resultados como 1,1 ,   2,2 e 3,3 não vão ser possíveis, certo?

Então os únicos resultados possíveis são:

1,2 , 1,3 , 2,1 , 2,3 , 3,1 , 3,2

E assim, os possíveis resultados pra nossa v.a. X soma das duas bolas, vai ser:

X 3,4 , 5

Passo 6

Agora é o mesmo esquema pra calcular a probabilidade de cada resultado possível de X .

P X = 3 = 2 6

P X = 4 = 2 6

P X = 5 = 2 6

É isso aí, dá pra você organizar numa tabela se preferir.

Passo 7

Vamos calcular esperança e variância de novo...

E X = 3 × 2 6 + 4 × 2 6 + 5 × 2 6

= 6 + 8 + 10 6 = 24 6

E X = 4

Passo 8

Variância:

V a r X = 3 2 × 2 6 + 4 2 × 2 6 + 5 2 × 2 6 - 16

= 18 + 32 + 50 6 - 16

= 100 6 - 16

= 4 6

V a r X = 2 3

Resposta

a   E X = 4     e   V a r X = 4 3

b   E X = 4   e   V a r X = 2 3

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