Exercícios Resolvidos de Vazão e Volume de Controle

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Enunciado

Em um sistema de movimentação de ar apresentado na figura há entrada de ar pela seção 1-1, seguida de um trocador de calor que pode aquecer o ar (condição A) ou não aquecer (condição B). Em seguida o ar é inserido em uma caixa de distribuição de ar podendo escoar para três saídas nas seções 3-3, 4-4 e 6-6. Na seção 5-5 há um pistão que pode movimentar-se ou estar travado em repouso. Na seção 6-6 há um tubo de Pitot posicionado de modo a medir uma velocidade que tem um valor muito próximo ao valor da velocidade média nesta seção transversal, seguido por um ventilador auxiliar.

São dados:

  • Na seção 1-1: Vazão em massa m ˙ 1 = 6   k g / s , massa específica ρ 1 = 1,2   k g / m ³ e área A 1 = 0,5   m ²
  • Na condição A o trocador de calor aquece o ar e sua massa específica na seção 2-2 é ρ 2 = 0,8   k g / m ³
  • As áreas das seções de saída são: A 3 = A 4 = 0,375   m 2 , A 5 = 1,5   m ² e A 6 = 0,25   m ²

Pede-se:

  1. Para condição A, com o trocador de calor aquecendo o ar, o pistão movendo-se com velocidade constante, e as vazões mássica de saída sendo m ˙ 3 = m ˙ 4 e m ˙ 6 = 2 m ˙ 3 , determinar os valores para a vazão em massa m ˙ 3 , a vazão volumétrica Q3, a velocidade média na seção V3 e a velocidade V5 do pistão na seção 5-5

Passo 1

Vamos anotar as variáveis que a gente precisa encontrar nesse rolê aí?

m ˙ 3 = ?

Q 3 = ?

V 3 = ?

V 5 = ?

E qual a relação que temos entre vazão mássica, vazão volumétrica e velocidade?

m ˙ = ρ Q

Onde

Q = V A

Ou seja, se a gente descobrir a vazão mássica, como conhecemos a área de seção transversal e a densidade do fluido, conseguiremos calcular a vazão volumétrica e a velocidade.

O que a gente sabe? Que pela conservação de massa, considerando um regime permanente: “tudo o que entra tem que ser igual a tudo que sai”.

Se a gente olhar pra nossa figura vemos então que a vazão que entra no sistema m ˙ 1 tem que ser igual as vazões mássicas que estão saindo na seção 3-3, 4-4 e 6-6.

m ˙ 1 = m ˙ 3 + m ˙ 4 + m ˙ 6

Opa, mas o enunciado do item 1.1. nos disse a relação entre as vazões mássicas

m ˙ 3 = m ˙ 4

2 m ˙ 3 = m ˙ 6

Passo 2

Agora vamos substituir essas relações e deixar nossa equação do balanço de massa em função da vazão mássica m ˙ 3 .

m ˙ 1 = 4 m ˙ 3

O enunciado diz pra gente que m ˙ 1 = 6   k g / s , calculamos m ˙ 3 = 6 4 = 1,5   k g / s

Opa, agora que sabemos a vazão mássica, podemos calcular a vazão volumétrica!!!

m ˙ 3 = ρ 3 Q 3

Q 3 = m ˙ 3 ρ 3 = 1,5 0,8 = 1,875   m 3 / s

A velocidade é dada pela relação:

Q 3 = V 3 A 3 → V 3 = Q 3 A 3 = 1,875 0,375 = 5   m / s

Passo 3

Pelo balanço de massa na região entre a seção 4-4 e 5-5, vamos que a vazão mássica que entra nessa seção deve ser igual ao que tá saindo na seção 5-5.

m ˙ 4 = m ˙ 5

Mas sabe-se que pelo item 1.1, m ˙ 4 = m ˙ 3 , por consequência:

m ˙ 3 = m ˙ 4 = m ˙ 5 = 1,5   k g / s

Logo, a velocidade V 5 é dada por:

m ˙ 5 = ρ 5 V 5 A 5

V 5 = m ˙ 5 ρ 5 A 5 = 1,5 0,8 × 1,5 = 1,25   m / s

Resposta

m ˙ 3 = 1,5   k g / s

Q 3 = 1,875   m 3 / s

V 3 = 5   m / s

V 5 = 1,25   m / s

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