Exercícios Resolvidos de Vazão e Volume de Controle

Frank M. White, Mecânica dos Fluidos, 6ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011.

Quando um jato líquido, regido pela gravidade, sai de uma fenda em um tanque, como na figura abaixo, uma aproximação para a distribuição de velocidade na saída é

u ≈ 2 g h - z 1 / 2  

onde h é a profundidade da linha de centro do jato. Próximo à fenda, o jato é horizontal, bidimensional, e de espessura 2 L , como mostrado. Encontre uma expressão geral para a vazão volumétrica total Q que sai da fenda.

Passo 1

Nesta questão devemos aplicar a expressão que define a vazão que passa por uma área:

Q = ∫ V d A

No caso a velocidade é u e como o jato é bidimensional vamos dizer que

d A = b d z

Sendo que b é uma largura que “sai” da tela.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Em seguida devemos resolver nossa integral substituindo as infomrações que temos:

Q = ∫ V d A

Q = ∫ - L L u b   d z

Se u ≈ 2 g h - z 1 / 2 ,

Q = ∫ - L L 2 g h - z 1 / 2 b   d z

Podemos tirar b e g de dentro da integral:

Q = b 2 g ∫ - L L h - z 1 / 2   d z

Vamos realizar a substituição h - z = y e - d z = d y . (Obs.: nossos limites de integração também vão mudar...Como z varia de - L até L , y = h - z irá variar de h + L até h - L )

Q = b 2 g ∫ h + L h - L - y 1 / 2   d y

Q = - 2 3 b y 3 / 2 2 g   h + L h - L

Q = - 2 3 b 2 g   h - L 3 / 2 - h + L 3 / 2

Q = 2 3 b 2 g   h + L 3 / 2 - h - L 3 / 2

Resposta

Q = 2 3 b 2 g   h + L 3 / 2 - h - L 3 / 2

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