Exercícios Resolvidos de Método da Secante

Lista 1 – UTFPR – Prof Violeta Stephan – Questão 14 Adaptada

Um circuito R L C consiste em um resistor R , um indutor L e um capacitor C conectados em série com uma fonte de tensão alternada V . A amplitude da corrente i m é dada por:

i m = v m R 2 + ω L - 1 ω C 2

onde ω , a frequência angular, está relacionada à frequência f por ω = 2 π f . Determine f para um circuito com R = 140 Ω , L = 260 m H , C = 25 F , v m = 24 V e i m = 0.15 A , usando o método da secante com tolerância 10 - 8 . Use como critério de parada o valor de x k - x k - 1 .

Passo 1

Substituindo os valores:

0.15 = 24 140 2 + 2 π f ∙ 0.26 - 1 2 π f ∙ 25 2

24 19600 + 0.52 π f - 1 50 π f 2 - 0.15 = 0

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Passo 2

Vamos encontrar o intervalo que contém a raiz agora.

f 10 = 0.02

f 30 = 0.012

f 45 = 0.00178

f 50 = - 0.0019

Beleza, temos uma raiz no intervalo 45 , 50 . Vamos usar como aproximações iniciais x - 1 = 50 e x 0 = 45 .

Passo 3

x - 1 = 50

x 0 = 45

ε =   10 - 8

Iteração 1 :

x 1 = g x 0 = x - 1 f x 0 - x 0 f x - 1 f x 0 - f x - 1 = 47.396341189

Critério de Parada:

x 1 - x 0 = 2.396341189 >   10 - 8

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 0 = 45

x 1 = 47.396341189

ε =   10 - 8

Iteração 2 :

x 2 = g x 1 = x 0 f x 1 - x 1 f x 0 f x 1 - f x 0 = 47.41596826

Critério de Parada:

x 2 - x 1 = 0.019627071 >   10 - 8

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 1 = 47.396341189

x 2 = 47.41596826

ε =   10 - 8

Iteração 3 :

x 3 = g x 2 = x 1 f x 2 - x 2 f x 1 f x 2 - f x 1 = 47.415808644

Critério de Parada:

x 3 - x 2 = 0.000159617 >   10 - 8

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 2 = 47.396341189

x 3 = 47.415808644

ε = 10 - 8

Iteração 4 :

x 4 = g x 3 = x 2 f x 3 - x 3 f x 2 f x 3 - f x 2 = 47.415808653

Critério de Parada:

x 4 - x 3 = 9.7 ∙ 10 - 9 < 10 - 8

Pronto, chegamos ao nosso critério de parada. A frequência do circuito é de 47.415808653   H z .

Resposta

f = 47.415808653   H z

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