Exercícios Resolvidos de Método da Secante

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Enunciado

Considere a função f x = x 2 2 + x ln ⁡ x - 1 . Obtenha seu ponto crítico com o auxílio do método da secante e precisão 10 - 5 . (Obs.: pontos críticos: x - | f ' x - = 0 )

Passo 1

Repare que o problema aqui não é encontrar o zero diretamente de f x . Ele está pedindo o zero de f ' x ! Então basta derivar, igualar a zero e aplicar nosso algoritmo:

f x = x 2 2 + x ln ⁡ x - 1

f ' x = x + ln ⁡ x

x + ln ⁡ x = 0

Passo 2

Agora precisamos de duas aproximações para a raiz:

f ' 0.5 = - 0.193

f ' 1 = 1

Temos uma raiz entre 0.5 e 1 . Como 0.5 parece estar mais próximo da raiz vamos usar como aproximações iniciais 0.5 e 0.6 .

Passo 3

x - 1 = 0.5

x 0 = 0.6

ε = 10 - 5

Iteração 1 :

x 1 = g x 0 = x - 1 f x 0 - x 0 f x - 1 f x 0 - f x - 1 = 0.568414

Critério de Parada:

x 1 - x 0 = 0.031586 > 10 - 5

f x 1 = 0.003508 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 0 = 0 . 6

x 1 = 0.568414

ε = 10 - 5

Iteração 2 :

x 2 = g x 1 = x 0 f x 1 - x 1 f x 0 f x 1 - f x 0 = 0.56712

Critério de Parada:

x 2 - x 1 = 0.001294 > 10 - 5

f x 2 = 6.4 ∙ 10 - 5 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 1 = 0.568414

x 2 = 0.56712

ε = 10 - 5

Iteração 3 :

x 3 = g x 2 = x 1 f x 2 - x 2 f x 1 f x 2 - f x 1 = 0.567143

Critério de Parada:

x 3 - x 2 = 2.3 ∙ 10 - 5 > 10 - 5

f x 3 = 4.5 ∙ 10 - 8 < 10 - 5

Beleza, chegamos ao nosso critério. O ponto crítico é x - = 0.567143

Resposta

x - = 0.567143

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