Exercícios Resolvidos de Método da Secante

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Enunciado

Use o método da secante para obter o ponto sobre a curva y = 1 x mais próximo do ponto x , y = 2,1 com precisão de 10 - 5 .

Passo 1

Essa questão é bem elaborada, vem comigo. Primeira coisa, como calculamos a distância entre dois pontos? Assim oh:

d = x - x 0 2 + y - y 0 2

Temos x 0 , y 0 = 2,1 e y = 1 x . Substituindo:

d x = x - 2 2 + 1 x - 1 2 = x 4 - 4 x 3 + 5 x 2 - 2 x + 1 x 2

Queremos minimizar essa distância, certo? E o que fazemos quando queremos achar o máximo ou mínimo de algo? Derivamos e igualamos a zero né??

Po, mas essa raiz aí ta ferrando a gente! Calma, nem tudo tá perdido haha. Tem uma sacada muito boa que podemos ter aqui. Pensa comigo, o mínimo dessa função d x também não é igual ao mínimo de d 2 x ? Se pegarmos todos os valores possíveis de d x e elevarmos ao quadrado, o x que nos dá o mínimo de d x será o mesmo que nos dará o mínimo de d 2 x ! Então podemos derivar o quadrado de d , que é bem mais fácil:

d 2 x = x 4 - 4 x 3 + 5 x 2 - 2 x + 1 x 2

d 2 ' x = f x = 2 x 4 - 2 x 3 + x - 1 x 3 = 0

Passo 2

Agora precisamos achar nossas aproximações iniciais:

f 1 = - 2

f 2 = 0.25

Temos uma raiz no intervalo 1,2 . Como f 2 está bem mais próximo do 0 vamos usar como chutes x - 1 = 2 e x 0 = 1.9 .

Passo 3

x - 1 = 2

x 0 = 1.9

ε = 10 - 5

Iteração 1 :

x 1 = g x 0 = x - 1 f x 0 - x 0 f x - 1 f x 0 - f x - 1 = 1.866717

Critério de Parada:

x 1 - x 0 = 0.033283 > 10 - 5

f x 1 = 8.1 ∙ 10 - 5 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 0 = 1.9

x 1 = 1.866717

ε = 10 - 5

Iteração 2 :

x 2 = g x 1 = x 0 f x 1 - x 1 f x 0 f x 1 - f x 0 = 1.86676

Critério de Parada:

x 2 - x 1 = 4.3 ∙ 10 - 5 > 10 - 5

f x 2 = 4.5 ∙ 10 - 8 < 10 - 5

Beleza, chegamos ao nosso critério. O valor de x que minimiza a distância é x - = 1.86676 .

O ponto sobre a reta y = 1 x será então:

x , y = 1.86676 , 0.535688

Resposta

x , y = 1.86676 , 0.535688

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Determinar, pelo método das secantes, uma raiz de cada uma das equações:b) l o g l o g𝑥− c o s c o s𝑥= 0
Determinar, pelo método das secantes, uma raiz de cada uma das equações:c) 𝑒 − 𝑥 − l o g l o g𝑥= 0
Usando o método iterativo linear determinar a solução de:Próxima a 0.5,0.5 .
A equação: 𝑥 − 2 𝑠 𝑒 𝑛 𝑥 = 0 possui uma raiz no intervalo 1.8 ,   2.0   . Determiná-la pelo método regula falsi, com duas casas decimais corretas.
Considere a equação 𝑥 − c o s c o s𝑥= 0 . Obtenha a raiz positiva com cinco casas decimais corretas. Confirme que a ordem de convergência do método regula falsi é 𝑝 ≈ 1.6818   .