Exercícios Resolvidos de Método dos Coeficientes Indeterminados

Elaboração Própria

Encontre a solução geral da equação diferencial abaixo:

y ' ' - 9 y = cos 3 x

Passo 1

Vamos seguir o passo a passo. Nosso objetivo é encontrar:

y x = y h x + y p x

Primeiro, encontremos a solução da equação auxiliar, relativa a equação homogênea:

r 2 - 9 = 0

r + 3 r - 3 = 0

r 1 = - 3 , r 2 = 3

A solução homogênea é:

y h x = C 1 e - 3 . x + C 2 e 3 . x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Partamos agora para a solução particular y p x , ok? Se você observar, a parte não homogênea da equação (lado direito). O que temos lá? Uma trigonométrica, então pela tabelinha nosso chute vai ser:

y p x = A c o s 3 x + B s e n ( 3 x )

Encontrando a primeira e a segunda derivada dessa solução particular, temos:

y p ' x = - 3 A s e n 3 x + 3 B c o s ( 3 x ) y p ' ' ( x ) = - 9 A c o s 3 x - 9 B s e n ( 3 x )

Passo 3

Agora temos que comparar a particular com a homogênea. Bem a homogênea envolve exponenciais e a particular trigonométricas. Portanto, não tem nada da particular na homogênea e podemos ficar com o seguinte palpite:

y p x = A cos 3 x + B sen 3 x

Passo 4

Agora temos que colocar essas derivadas na equação. Teremos, então:

y ' ' - 9 y = c o s ( 3 x )

- 9 A c o s 3 x - 9 B s e n 3 x - 9 A c o s 3 x - 9 B s e n 3 x = c o s ( 3 x )

- 18 A c o s 3 x - 18 B s e n 3 x = c o s ( 3 x )

Igualando o coeficiente que está multiplicando a função cosseno do lado esquerdo e do lado direito temos:

- 18 A = 1

A = - 1 18

Como não há a função seno do lado direito da equação:

B = 0

Então temos:

y p x = A c o s 3 x + B s e n ( 3 x )

y p x = - 1 18 c o s 3 x

Passo 5

Assim, a solução geral é:

y x = y h x + y p x

Porém encontramos:

y h x = C 1 e - 3 . x + C 2 e 3 . x

y p x = - 1 18 c o s 3 x

Então fica:

y x = C 1 e - 3 . x + C 2 e 3 . x - 1 18 c o s 3 x

Resposta

y x = C 1 e - 3 . x + C 2 e 3 . x - 1 18 c o s 3 x

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