Exercícios Resolvidos de Método dos Coeficientes Indeterminados

PUCRIO, Cálculo 4 - MAT1154, G1 - 2011.2, Questão 1c

Resolva os problemas de valor inicial abaixo, isto é, encontre a função f ( x ) que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais dadas.

(c)

y ' ' - 9 y ' + 14 y = e 3 x

y 0 = 0

y ' 0 = 1

Passo 1

  1. Nesse caso, temos que resolver a EDO

y ' ' - 9 y ' + 14 y = e 3 x

Que é uma EDO do segundo grau não homogênea, portanto temos que resolver a equação homogênea associada e depois a solução particular.

A equação homogênea é

y ' ' - 9 y ' + 14 y = 0

Cuja solução é dada achando a equação característica dada por

r 2 - 9 r + 14 = 0

r = 9 ± 25   2 = 9 ± 5 2

r 1 = 7 ,   r 2 = 2

Então a solução é

y x = C 1 e 7 x + C 2 e 2 x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, para achar a solução particular vamos olhar para parte não homogênea dada por

e 3 x

Então, podemos chutar uma solução dada por

y p = a e 3 x

Portanto,

a 9 e 3 x - 27 a e 3 x + 14 e 3 x = e 3 x

- 4 a e 3 x = e 3 x

a = - 1 4

Então,

y p = - e 3 x 4

Logo, a solução geral é dada por

y x = C 1 e 7 x + C 2 e 2 x - e 3 x 4

Aplicando as condições iniciais

y 0 = 0

y ' 0 = 1

Ficamos com

0 = y 0 = C 1 + C 2 - 1 4 C 1 + C 2 = 1 4 C 1 = 1 4 - C 2

1 = y ' 0 = 7 C 1 + 2 C 2 - 3 4 7 C 1 + 2 C 2 = 3 4 + 1 = 7 4

Substituindo a primeira equação na segunda ficamos com

7 1 4 - C 2 + 2 C 2 = 7 4

7 4 - 7 C 2 + 2 C 2 = 7 4

C 2 = 0

E

C 1 = 1 4

Temos, então, que a solução da EDO dada as condições de contorno é

y x = e 7 x 4 - e 3 x 4

Resposta

(c)

y x = e 7 x 4 - e 3 x 4

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