Exercícios Resolvidos de Método dos Coeficientes Indeterminados

UFRJ, Cálculo 2, P1 - 2015.1, Questão 1

a) Determine a solução geral da equação diferencial:

y ' ' + y ' - 2 y = 3 e - 2 x

b) Determine o valor de v 0 de modo que a solução da equação acima com condições iniciais y 0 = 1 e y ' 0 = v 0 seja limitada no intervalo 0 , + .

Passo 1

a) Aqui temos uma EDO de segunda ordem não homogênea para ser resolvida. Basta a gente seguir o passo a passo que não tem o que dar errado! Nossa solução deve ser a forma:

y x = y h x + y p x

Primeiro, encontremos a solução da equação auxiliar, relativa a equação homogênea:

r 2 + r - 2 = 0

r = - 1 ± 1 2 - 4.1 . - 2 2

r = - 1 ± 1 + 8 2

r = - 1 ± 9 2

r = - 1 ± 3 2

r = 1 ,     o u ,     r = - 2

Beleza, encontramos esses valores para r ! Assim, como o Δ foi maior do que 0 , a solução homogênea é:

y h x = C 1 e 1 . x + C 2 e - 2 . x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Partamos agora para a solução particular y p x , ok? Se você observar, a parte não homogênea da equação (lado direito), é um caso particular de y h x . Assim, não podemos dizer que A e - 2 x é uma solução particular coerente.

Quando isto acontece, multiplicamos y p x por x , né? Então teremos que a forma da y p x é:

y p x = A x e - 2 x

Encontrando a primeira e a segunda derivada dessa solução particular, temos:

y p ' x = A e - 2 x - 2 A x e - 2 x y p ' ' x = - 4 A e - 2 x + 4 A x e - 2 x

Beleza?

Passo 3

Agora temos que colocar essas derivadas na equação. Teremos, então:

y ' ' + y ' - 2 y = 3 e - 2 x

- 4 A e - 2 x + 4 A x e - 2 x + A e - 2 x - 2 A x e - 2 x - 2 A x e - 2 x = 3 e - 2 x

- 3 A e - 2 x = 3 e - 2 x

Por igualdade de polinômios, vemos que para um lado ser igual ao outro, o A deve ser - 1 , e teremos 3 e - 2 x dos dois lados :D Como A = - 1 , então y p = A x e - 2 x = - x e - 2 x

Assim, a solução geral é:

y x = C 1 e 1 . x + C 2 e - 2 . x - x e - 2 x

Passo 4

b) Agora é substituir as condições iniciais nas equações que temos! Considerando que y 0 = 1 , temos:

y 0 = C 1 e 1.0 + C 2 e - 2.0 - 0 . e - 2.0 = 1

C 1 + C 2 = 1

Passo 5

Agora, vejamos o y ' 0 . Para isso, precisamos derivar y x , o que nos dá:

y ' x = C 1 e x - 2 C 2 e - 2 x - e - 2 x + 2 x e - 2 x

Colocando x = 0 , teremos:

y ' 0 = C 1 e 0 - 2 C 2 e - 2.0 - e - 2.0 + 2.0 e - 2.0

C 1 - 2 C 2 - 1 = v 0

Passo 6

Agora, juntamos as duas equações e resolvemos o sistema:

C 1 + C 2 = 1 C 1 - 2 C 2 = v 0 + 1

Subtraindo a de baixo da de cima, teremos:

3 C 2 = - v 0

C 2 = - v 0 3

Substituindo esse valor para C 2 na primeira equação, temos:

C 1 = 1 + v 0 3

Colocando esses dois valores na equação de y x , teremos:

y x = 1 + v 0 3 e x - v 0 3 e - 2 x - x e - 2 x

Passo 7

Agora, vamos ver qual é o valor de v 0 para que a função seja limitada em x 0 , + ! Se observar bem y x , temos que ela só é limitada neste intervalo caso 1 + v 0 3 seja 0 . Caso contrário, a função iria disparar para infinito, e não seria limitada! Para que ela seja limitada, então v 0 = - 3 . Colocando v 0 = - 3 , o y x fica:

y x = e - 2 x - x e - 2 x

Perceba que, quando colocamos x , então y x = e - 2 x - x e - 2 x 0 , o que torna a função limitada para esta faixa de valores de x :D

Resposta

a) y x = C 1 e 1 . x + C 2 e - 2 . x - x e - 2 x

b) v 0 = - 3

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