Exercícios Resolvidos de Método dos momentos de área

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Enunciado

Determine as reações nos apoios A e B . Considere E I constante.

Passo 1

Bom pessoal, vamos resolver mais um problema de vigas estaticamente indeterminadas. Lembrando que vamos seguir o procedimento:

  1. Transformar o apoio em uma força e dividir os carregamentos.
  2. Elaborar os diagramas M / E I .
  3. Analisar as condições de contorno da linhas elástica.
  4. Utilizar o métodos dos momentos de área para calcaular uma reação.
  5. Com o valor dessa reações calcular as demais.

Passo 2

Vamos começar transformando o carregamento:

Perceba que não mudamos o carregamento, apenas segregamos em diferentes figuras e retiramos o apoio B e o substituímos por uma força B y que é a força de reação.

Passo 3

Agora a gente vai fazer o diagrama M / E I a gente vai fazer isso somando os diagramas de cada carregamento.

Passo 4

Beleza! A gente já tem os diagramas agora a gente vai utilizar o conceito de linha elástica para nos ajudar a resolver a questão e achar o valor de B y .

A gente tem que saber como vai ser a configuração da linha elástica e principalmente as condições de contorno. Abaixo vamos representar um esboço da linha elástica:

As condições são as seguintes:

No engaste x = 0 :

y = 0

θ = 0

Na rótula x = 8   m

y = 0

Passo 5

Agora vamos utilizar essas condições de contorno para achar o valor de B y vamos fazer isso utilizando o método dos momentos das áreas para a linha neutra.

t B / A = x -   .   A

Repare que queremos a deflexão de B em relação à A , t B / A , que vai ser dada pelas áreas das figuras formadas nos seguintes gráficos:

  • O primeiro é um triângulo então não tem muito segredo, basta lembrar que estamos olhando da perspectiva do ponto B então as distâncias serão a partir desse ponto:
  • Já para o segundo gráfico temos uma parábola. Assim como no anterior a perspectiva é sobre o ponto B , mas vale ressaltar que a área e o centro de massa de uma parábola deste tipo são:

A = 1 3 ( b a s e ) ( a l t u r a )

x - = 3 4 ( b a s e )

Como a nossa parábola não está completa vamos fazer o total (de 0 a 5) menos a parte branca (de 2 a 5).

Como temos mais de uma figura:

t B / A = ∑ x -   .   A

Lembre-se que o ponto que estamos analisando está centrado em B , logo, todas as distâncias são referentes a esse ponto.

t B / A = 2 3 × 2 1 2 × 2 × 2 B y E I + 3 4 × 5 1 3 × 5 × - 250 E I - 3 4 × 3 1 3 × 3 × - 100 E I

t B / A = 4 3 2 B y E I - 15 4 1250 3 E I + 9 4 100 E I

t B / A = 8 B y 3 E I - 18750 12 E I + 900 4 E I

t B / A = 8 B y 3 E I - 16050 12 E I

Como, pelas condições de contorno a deflexão em B é igual à deflexão em A vamos ter que:

t B / A = 0

Sendo assim,

8 B y 3 E I - 16050 12 E I = 0

B y = 501,56   k N

Passo 6

Agora é só utilizar as equações da estática para achar o resto das reações, fazendo o diagrama de corpo livre:

Podemos ver que:

A x = 0

A y = 50 × 5 - 501,56 = - 251,56   k N

M A = 501,56 × 2 - 250 × 2,5 = 378,12   k N . m

Resposta

A x = 0

A y = - 251,56   k N

M A = 378,12   k N . m

B y = 501,56   k N

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