Exercícios Resolvidos de Método dos momentos de área

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Enunciado

Determine as reações nos apoios A e B . Considere E I constante.

Passo 1

Bom pessoal, vamos resolver mais um problema de vigas estaticamente indeterminadas. Lembrando que vamos seguir o procedimento:

  1. Transformar o apoio em uma força e dividir os carregamentos.
  2. Elaborar os diagramas M / E I
  3. Analisar as condições de contorno da linhas elástica
  4. Utilizar o métodos dos momentos de área para calcaular uma reação
  5. Com o valor dessa reações calcular as demais.

Passo 2

Vamos começar transformando o carregamento:

Perceba que não mudamos o carregamento, apenas segregamos em diferentes figuras e retiramos o apoio B e o substituímos por uma força B y que é a força de reação.

Passo 3

Agora a gente vai fazer o diagrama M / E I a gente vai fazer isso somando os diagramas de cada carregamento.

Passo 4

Beleza! A gente já tem os diagramas agora a gente vai utilizar o conceito de linha elástica para nos ajudar a resolver a questão e achar o valor de B y .

A gente tem que saber como vai ser a configuração da linha elástica e principalmente as condições de contorno. Abaixo está um esboço da linha elástica, nesse caso específico a linha elástica assume uma forma bastante incomum mas não se espante o que precisamos saber é que não há deflexão relativa entre A e B :

As condições são as seguintes:

No engaste x = 0 :

y = 0

θ = 0

Na rótula x = 7   m

y = 0

Passo 5

Agora vamos utilizar essas condições de contorno para achar o valor de B y vamos fazer isso utilizando o método dos momentos das áreas para a linha neutra.

t B / A = x -   .   A

Repare que queremos a deflexão de B em relação à A t B / A que vai ser dada pelas áreas das figuras formadas nos gráficos:

Como temos mais de uma figura:

t B / A = ∑ x -   .   A

Lembre-se que o ponto que estamos analisando está centrado em B , logo, todas as distâncias são referentes a esse ponto.

t B / A = 2 3 × 7 1 2 × 7 × 7 B y E I + 3,5 7 × 10 E I + 1 2 × 10 E I

t B / A = 14 3 49 2 E I + 3,5 70 E I + 1 20 E I

t B / A = 343 B y 3 E I + 245 E I + 20 E I

Como, pelas condições de contorno a deflexão em B é igual à deflexão em A vamos ter que:

t B / A = 0

Sendo assim,

343 B y 3 E I + 245 E I + 20 E I = 0

B y = - 2,2   k N

Passo 6

Agora é só utilizar as equações da estática para achar o resto das reações, fazendo o diagrama de corpo livre:

Podemos ver que:

A x = 0

A y = 2,2   k N

M A = - 10 - 10 + 2,2 × 7 = - 4,6   k N . m

Resposta

A x = 0

A y = 2,2   k N

B y = - 2,2   k N

M A = - 4,6   k N . m

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