Exercícios Resolvidos de Método dos momentos de área

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Enunciado

Determine as reações nos apoios A e B . Considere E I constante.

Passo 1

Faaala, galera!!! E aí como vocês estão, prontos para começarem uns exercícios de método dos momentos de áreas aplicado a vigas estaticamente indeterminadas? Tenho certeza que sim!!!

Vamos lá, então pessoal! Como o próprio tópico já diz estamos falando de vigas estaticamente indeterminadas, isso significa dizer que as reações das vigas não podem ser calculadas com base apenas nas equações da estática, logo a gente vai precisar de mais uma ferramenta para isso.

Essa ferramenta é o diagrama M / E I aliado com um certo conhecimento da linha elástica. Vamos ver como isso nos ajudará!!

Passo 2

Vamos começar transformando o carregamento em dois carregamentos mais simples:

Perceba que não mudamos o carregamento! A única coisa que fizemos foi tirar o apoio B e aplicar uma força B y que é a força de reação.

Passo 3

Agora a gente vai fazer o diagrama M / E I a gente vai fazer isso somando os diagramas de cada carregamento.

Passo 4

Beleza! A gente já tem os diagramas agora a gente vai utilizar o conceito de linha elástica para nos ajudar a resolver a questão e achar o valor de B y .

A gente tem que saber como vai ser a configuração da linha elástica e principalmente as condições de contorno. Abaixo vamos representar um esboço da linha elástica:

As condições são as seguintes:

No engaste x = 0 :

y = 0

θ = 0

Na rótula x = 2   m

y = 0

Passo 5

Agora vamos utilizar essas condições de contorno para achar o valor de B y vamos fazer isso utilizando o método dos momentos das áreas para a linha neutra.

t B / A = x -   .   A

Repare que queremos a deflexão de B em relação à A t B / A que vai ser dada pelas áreas das figuras formadas nos gráficos:

Como temos mais de uma figura:

t B / A = ∑ x -   .   A

t B / A = 2 3 × 2 1 2 × 2 × 2 B y E I + ( 1 ) ( 2 × - 15 E I )

t B / A = 8 B y 3 E I - 30 E I

Como, pelas condições de contorno a deflexão em B é igual à deflexão em A vamos ter que:

t B / A = 0

Sendo assim,

8 B y 3 E I - 30 E I = 0

B y = 90 8 = 11,25   k N

Passo 6

Agora é só utilizar as equações da estática para achar o resto das reações, fazendo o diagrama de corpo livre:

Podemos ver que:

A x = 0

A y = 11,25   k N

M A = 11,25 × 2 - 15 = 7,5   k N . m

Resposta

A x = 0

A y = 11,25   k N

B y = 11,25   k N

M A = 7,5   k N . m

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