Exercícios Resolvidos de Método dos momentos de área

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Enunciado

Determine as reações ao momento nos apoios A e B ; a seguir trace os diagramas de força cortante e momento fletor. E I é constante.

Passo 1

Bom pessoal, vamos resolver mais um problema de vigas estaticamente indeterminadas.

O primeiro passo vai ser sempre o mesmo, colocar as reações dos apoios e montar o nosso querido diagrama do corpo livre:

Repara que aqui, nós temos 6 incógnitas que são as reações nos nossos apoios, com isso, precisaríamos de 6 equações para determinar essa viga.

Mas repara só no seguinte, os momentos aplicados na nossa viga possuem o mesmo valor e estão aplicados em pontos simétricos, portanto, podemos dizer que há uma simetria na nossa viga.

Por isso,

A y = B y

A x = B x

M A = M B

Como não existem esforços verticais nem horizontais, não haverá reações nessas direções, portanto:

A y = B y = 0

A x = B x = 0

Com isso, ficamos apenas com duas incógnitas ( M A e   M B ) e uma equação (somatório dos momentos), o que resulta em problema estaticamente indeterminado e para resolve-lo, vamos seguir o passo-a-passo!

  1. Determinar as equações da estática
  2. Elaborar os diagramas M / E I
  3. Analisar as condições de contorno das linhas elásticas
  4. Utilizar o métodos dos momentos de área para calcular uma reação
  5. Com o valor dessas reações calcular as demais.

Passo 2

Vimos no Passo 1, que só iremos usar a equação do somatórios dos momentos que nesse caso, será:

  • Momento

∑ M = 0

M A - M 0 + M 0 - B y × L - M B = 0

M A = M B + B y L

E como sabemos que o B y é zero, teremos então:

M A = M B

Logo, precisamos de apenas mais uma equação para resolver o problema e essa equação é a da linha elástica!

Passo 3

Agora a gente vai fazer o diagrama M / E I , a gente vai fazer isso somando os diagramas de cada carregamento.

Lembrando que vamos adotar aqui o sentido anti-horário como positivo!

Vamos começar nosso gráfico com o momento igual à M A que é o momento do engaste em A . Ao chegar em x = L / 3 , subtraímos com o momento M 0 dado pelo carregamento nesse ponto que é no sentido horário.

Depois, ao chegar em x = 2 L / 3 , somamos novamente o M 0 , pois agora o carregamento está no sentido anti-horário. E por fim, finalizamos o nosso gráfico, chegando em x = L , quando subtraímos o momento M B , que sabemos que é igual a M A e por isso o nosso gráfico vai pra zero.

Passo 4

Beleza! A gente já tem os diagramas, agora a gente vai utilizar o conceito de linha elástica para nos ajudar a resolver a questão e achar a nossa próxima equação!

Para isso vamos utilizar as condições de contorno que são:

No engaste x = 0 :

y A = 0

θ A = 0

No engaste x = L

y B = 0

θ B = 0

Então, uma coisa que podemos fazer é aplicar a equação do momento de área entre os pontos x = 0 e x = L e assim vamos achar a inclinação relativa entre eles. Lembrando:

θ B / A =   A

Ah, e se liga, a inclinação relativa entre A e B vai ser zero, afinal θ A = 0   e θ B = 0 .

0 = A

Vamos, encontrar agora essa área:

Agora é só fazer a área dessas figuras:

  1. Da figura número 1:
  2. A 1 = M A × L 3

  3. Da figura número 2:
  4. A 2 = M A - M 0 × L 3

  5. Da figura número 3:

A 3 = M A × L 3

Passo 5

Então somando todos esses termos vamos ter:

θ A / B = ∑ A

0 = A 1 + A 2 + A 3

Pessoal, normalmente quando uma área está localizada abaixa do eixo x a gente tem que colocar um sinal negativo na sua frente, mas como o termo ( M A - M 0 ) já é negativo, porque M 0 é maior do que M A então não vamos fazer isso nesse caso, beleza?

0 = M A × L 3 + M A - M 0 × L 3 + M A × L 3

Mas a inclinação relativa entre A e B é zero, correto? Então vamos ter:

M A × L 3 + M A - M 0 × L 3 + M A × L 3 = 0

M A + M A - M 0 + M A = 0

M A = M 0 3

E sabemos que M B = M A , logo:

M B = M A = M 0 3

Passo 6

Como o problema pede apenas as reações ao momento e vimos que:

A x = B x = 0

A y = B y = 0

Nós vamos ter como resultado:

M A = M B = M 0 3

Resposta

A x = B x = 0

A y = B y = 0

M A = M B = M 0 3

Exercícios de Livros Relacionados

O eixo suporta as cargas das duas polias mostradas na figura. Determine a equação da linha elástica. Os mancais em A e B exercem somente reações verticais sobre o eixo. EI é constante.
Para a viga e o carregamento mostrados na figura, determine a reação no apoio móvel.
Para a viga e o carregamento do Problema 9.135, determine a maior deflexão para cima no vão DE.
Determine a reação no apoio móvel e trace o diagrama do momento fletor para a viga e o carregamento mostrados na figura.
Determine as reações nos apoios. EI é constante.