Exercícios Resolvidos de Método dos momentos de área

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Enunciado

Determine as reações nos apoios. Considere E I constante.

Passo 1

Bom pessoal, vamos resolver mais um problema de vigas estaticamente indeterminadas. Lembrando que vamos seguir o procedimento:

  1. Transformar o apoio em uma força e dividir os carregamentos.
  2. Elaborar os diagramas M / E I
  3. Analisar as condições de contorno da linhas elástica
  4. Utilizar o métodos dos momentos de área para calcaular uma reação
  5. Com o valor dessa reações calcular as demais.

Passo 2

Vamos começar montando o diagrama de corpo livre:

Agora vamos aplicar as equações da estática:

  • Forças horizontais
  • ∑ F x = 0

    A x = 0

  • Forças verticais
  • ∑ F y = 0

    A y - B y = 0

    A y = B y

  • Momento

∑ M = 0

M A - M 0 + M 0 - B y × 3 a = 0

M A = 3 a B y

Porém, percebam que temos mais incógnitas do que equações logo vamos utilizar nosso conhecimento de linha elástica para achar mais uma equação!

Passo 3

Agora a gente vai fazer o diagrama M / E I a gente vai fazer isso somando os diagramas de cada carregamento.

Onde:

M 1 = M A - ( A y ) ( a )

M 2 = M A - ( A y ) ( 2 a )

Então vamos ter:

M 1 = M A - a A y

M 2 = M A - 2 a A y

Passo 4

Beleza! A gente já tem os diagramas agora a gente vai utilizar o conceito de linha elástica para nos ajudar a resolver a questão e achar a nossa próxima equação!

Para isso vamos utilizar as condições de contorno que são:

No engaste x = 0 :

y = 0

θ = 0

No apoio x = 3 a

y = 0

Então uma coisa que podemos fazer é aplicar a equação do momento de área entre os pontos x = 0 e x = 3 a e assim vamos achar a deflexão relativa entre eles. Lembrando:

t B / A = x -   .   A

E o gráfico vai ser:

Passo 5

Agora vamos aplicar a equação fornecida no passo anterior e achar a deflexão relativa. Eu gosto de ao invés de trabalhar com trapézios sempre trabalhar com um retângulo mais um triângulo beleza? Então nós vamos ter 5 figuras:

Como temos mais de uma figura:

t B / A = ∑ x -   .   A

Lembre-se que o ponto que estamos analisando está centrado em B , logo, todas as distâncias são referentes a esse ponto.

  1. Para a figura número 1:
  2. t B / A = 2 3 × a + 2 a 1 2 × ( M A - M 1 ) × a

    t B / A = 8 a 3 A y a 2 2

    t B / A = 4 A y a 3 3

  3. Para a figura número 2:
  4. t B / A = a 2 + 2 a M 1 × a

    t B / A = 5 a 2 ( M A - a A y ) × a

    t B / A = 5 a 2 2 M A - a A y

  5. Para a figura número 3:
  6. t B / A = - a 2 + a ( M 1 - M 0 ) × a

    t B / A = - 3 a 2 ( M A - a A y - M 0 ) × a

    t B / A = - 3 a 2 2 M A - a A y - M 0

  7. Para a figura número 4:
  8. t B / A = - 1 3 × a + a 1 2 × ( M 2 - M 1 ) × a

    t B / A = - 4 a 3 1 2 × ( a A y ) × a

    t B / A = - 2 A y a 3 3

  9. Para a figura número 5:

t B / A = 2 3 × a 1 2 × ( M 2 ) × a

t B / A = 2 3 × a 1 2 × ( M A - 2 a A y ) × a

t B / A = a 2 3 M A - 2 a A y

Agora temos de somar os 5 termos e obter:

t B / A = 2 A y a 3 3 + 5 a 2 2 M A - a A y - 3 a 2 2 M A - a A y - M 0 + a 2 3 M A - 2 a A y

Como ambos os pontos possuem deflexão igual a zero então vamos ter:

t B / A = 0

Logo,

2 A y a 3 3 + 5 a 2 2 M A - a A y - 3 a 2 2 M A - a A y - M 0 + a 2 3 M A - 2 a A y = 0

Passo 6

Agora é só utilizar essa equação que achamos em conjunto com as outras três do início do problema que vamos encontrar todas as reações:

A x = 0

A y = B y

M A = 3 a B y

2 A y a 3 3 + 5 a 2 2 M A - a A y - 3 a 2 2 M A - a A y - M 0 + a 2 3 M A - 2 a A y = 0

Um modo de resolver é colocar todos os termos em função de A y :

2 A y a 3 3 + 5 a 2 2 3 a A y - a A y - 3 a 2 2 3 a A y - a A y - M 0 + a 2 3 3 a A y - 2 a A y = 0

Resolvendo essa equação vamos encontrar:

M A = M 0 2

A y = M 0 6 a

A x = 0

B y = M 0 6 a

Resposta

M A = M 0 2

A y = M 0 6 a

A x = 0

B y = M 0 6 a

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