Exercícios Resolvidos de Método dos momentos de área

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Enunciado

Determine as reações nos apoios A e B . Considere E I constante.

Passo 1

Bom pessoal, vamos resolver mais um problema de vigas estaticamente indeterminadas. Lembrando que vamos seguir o procedimento:

  1. Transformar o apoio em uma força e dividir os carregamentos.
  2. Elaborar os diagramas M / E I
  3. Analisar as condições de contorno da linhas elástica
  4. Utilizar o métodos dos momentos de área para calcaular uma reação
  5. Com o valor dessa reações calcular as demais.

Passo 2

Vamos começar transformando o carregamento:

Perceba que não mudamos o carregamento! A única coisa que fizemos foi tirar o apoio B e aplicar uma força B y que é a força de reação.

Passo 3

Agora a gente vai fazer o diagrama M / E I a gente vai fazer isso somando os diagramas de cada carregamento.

Passo 4

Beleza! A gente já tem os diagramas agora a gente vai utilizar o conceito de linha elástica para nos ajudar a resolver a questão e achar o valor de B y .

A gente tem que saber como vai ser a configuração da linha elástica e principalmente as condições de contorno. Abaixo vamos representar um esboço da linha elástica:

As condições são as seguintes:

No engaste x = 0 :

y = 0

θ = 0

Na rótula x = 10   m

y = 0

Passo 5

Agora vamos utilizar essas condições de contorno para achar o valor de B y vamos fazer isso utilizando o método dos momentos das áreas para a linha neutra.

t B / A = x -   .   A

Repare que queremos a deflexão de B em relação à A t B / A que vai ser dada pelas áreas das figuras formadas nos gráficos:

Como temos mais de uma figura:

t B / A = ∑ x -   .   A

Lembre-se que o ponto que estamos analisando está centrado em B , logo, todos as distâncias são referentes a esse ponto.

t B / A = 5 + 2 3 × 5 1 2 × 5 × 250 E I + 2 3 × 10 1 2 × 10 × - 10 B y E I

t B / A = 3125 E I + 12 5 0 0 6 E I - 2000 B y 6 E I

Como, pelas condições de contorno a deflexão em B é igual à deflexão em A vamos ter que:

t B / A = 0

Sendo assim,

3125 E I + 12500 6 E I - 2000 B y 6 E I = 0

B y = 15,625   k N

Passo 6

Agora é só utilizar as equações da estática para achar o resto das reações, fazendo o diagrama de corpo livre:

Podemos ver que:

A x = 0

A y = 50 - 15,625 = 34,375   k N

M A = 50 × 5 - 15,625 × 10 = 93,75   k N . m

Resposta

A x = 0

A y = 50 - 15,625 = 34,375   k N

B y = 15,625   k N

M A = 50 × 5 - 15,625 × 10 = 93,75   k N . m

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