Exercícios Resolvidos de Método dos momentos de área

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Enunciado

Determine as reações nos apoios A e B . Considere E I constante.

Passo 1

Bom pessoal, vamos resolver mais um problema de vigas estaticamente indeterminadas. Lembrando que vamos seguir o procedimento:

  1. Transformar o apoio em uma força e dividir os carregamentos.
  2. Elaborar os diagramas M / E I
  3. Analisar as condições de contorno da linhas elástica
  4. Utilizar o métodos dos momentos de área para calcaular uma reação
  5. Com o valor dessa reações calcular as demais.

Passo 2

Vamos começar transformando o carregamento:

Perceba que não mudamos o carregamento, apenas segregamos em diferentes figuras e retiramos o apoio B e o substituímos por uma força B y que é a força de reação.

Passo 3

Agora a gente vai fazer o diagrama M / E I a gente vai fazer isso somando os diagramas de cada carregamento.

Passo 4

Beleza! A gente já tem os diagramas agora a gente vai utilizar o conceito de linha elástica para nos ajudar a resolver a questão e achar o valor de B y .

A gente tem que saber como vai ser a configuração da linha elástica e principalmente as condições de contorno. Abaixo está um esboço da linha elástica:

As condições são as seguintes:

em A x = 0 :

y = 0

em B x = 4   m

y = 0

em C x = 9   m

y = 0

Passo 5

Agora vamos utilizar essas condições de contorno para achar o valor de B y vamos fazer isso utilizando o método dos momentos das áreas para a linha neutra.

t C / A = x -   .   A

Repare que queremos a deflexão de C em relação à A t C / A que vai ser dada pelas áreas das figuras formadas nos gráficos:

Como temos mais de uma figura:

t C / A = ∑ x -   .   A

Lembre-se que o ponto que estamos analisando está centrado em C , logo, todas as distâncias são referentes a esse ponto.

t C / A = 2 3 × 9 1 2 × 9 × 65 E I + 4 1 2 × 4 × 4 B y E I

t C / A = 3 585 E I + 4 8 B y E I

t C / A = 3 585 E I + 4 8 B y E I

Como, pelas condições de contorno a deflexão em C é igual à deflexão em A vamos ter que:

t C / A = 0

Sendo assim,

3 585 E I + 4 8 B y E I = 0

B y = 54,84   k N

Passo 6

Agora é só utilizar as equações da estática para achar o resto das reações, fazendo o diagrama de corpo livre:

Podemos ver que:

∑ F y = 0

A y + C y = 54,84

∑ M = 0

54,84 × 4 + 10 × 6,5 - C y × 7 = 0

C y = 40,625   k N

A y = 14,215   k N

Resposta

A y = 14,215   k N

B y = - 33,18   k N

C y = 40,625   k N

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