Exercícios Resolvidos de Método dos Parâmetros Concentrados

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Enunciado

Um arame longo de diâmetro D = 1 m m é imerso em um banho de óleo à temperatura de T ∞ = 25 o C . O arame possui uma resistência elétrica por unidade de comprimento de R e ' = 0,01   Ω . m - 1 . A corrente que flui através do arame vale I = 100   A , o coeficiente de convecção é h = 500   W . m - 2 . K - 1 e as propriedades do arame são k = 20   W . m - 1 . K - 1 , ρ = 8000   k g . m - 3 , c p =   500   J . k g - 1 . K - 1 .

a Qual é a temperatura em regime estacionário do arame?

b A partir do tempo em que a corrente é aplicada, quanto tempo levará para o arame atingir uma temperatura que não exceda 1 o C do valor do regime estacionário?

Passo 1

a Qual é a temperatura em regime estacionário do arame?

A situação pode ser esquematizada da seguinte forma:

O item a) nos pede pra calcular a temperatura em estado estacionário, então não temos que usar ainda nenhum dos métodos de condução transiente.

A gente observa que há geração de energia térmica no corpo, devido à passagem de corrente elétrica no arame. Então, bora fazer o que a gente já tava acostumado para os casos de estado estacionário: um balanço de energia!

E ˙ e - E ˙ s + E ˙ g = E ˙ a

0 - E ˙ s + E ˙ g = 0

E ˙ g = E ˙ s

A taxa de calor gerada ( E ˙ g ) se refere ao efeito Joule pela dissipação da energia elétrica em térmica e a taxa de saída ( E ˙ s ) é dada pela convecção na superfície.

Como a resistência elétrica é dada em termos do comprimento do fio, a gente pode escrever a área também dividida pela unidade de comprimento ( A ' ):

R e ' . I 2 = h . A ' . T s - T ∞

Isolando a temperatura da superfície:

R e ' . I 2 = h . ( π . D ) . T s - T ∞

T s = T ∞ + R e ' . I 2 π . D . h

Substituindo os valores do enunciado:

T s = 298   K + 0,01   Ω . m - 1 . 100   A 2 π . 0,001   m . 500   W . m - 2 . K - 1

T s = 361,7   K

Passo 2

b A partir do tempo em que a corrente é aplicada, quanto tempo levará para o arame atingir uma temperatura que não exceda 1 o C do valor do regime estacionário?

A primeira coisa que temos que fazer é calcular o número de Biot pra saber se podemos usar o Método dos Parâmetros Concentrados:

B i = h . L c k

O comprimento característico ( L c ) pela razão entre volume e área do cilindro é calculado por:

L c = V c i l A c i l             →             L c = π . D 2 4 . L π . D . L           →             L c = D 4

Pela distância que corresponde a maior diferença de temperatura, a gente tem que:

L c = D 2

Como o B i fica menor usando a primeira opção, bora usar ele, porque assim fica mais fácil da aproximação do método dos parâmetros concentrados valer ^^

Assim:

B i = h . D 4 . k             →             B i = 500   W . m - 2 . K - 1 . 0,001   m 4 . 20   W . m - 1 . K - 1             →             B i = 0,0063

Como B i < 0,1 , a gente pode usar o método dos parâmetros concentrados! Então, vamos aos cálculos!

Passo 3

Esse exemplo aqui é um pouco diferente, porque tem geração de energia térmica devido à passagem de corrente elétrica no arame.

O Então, bora fazer um balanço de energia transiente nesse corpo:

E ˙ e - E ˙ s + E ˙ g = E ˙ a

0 - E ˙ s + E ˙ g = E ˙ a

OBS: Como o termo de geração não é nulo, a gente não pode utilizar aquelas equações prontas que vimos na teoria, porque elas só servem pro caso trivial de saída de calor por convecção!

Substituindo as expressões:

- h . A ' . T s - T ∞ + R e ' . I 2 = ρ . c p . V ' . d T d t

Isolando a derivada da temperatura no tempo:

- h . π . D . T s - T ∞ + R e ' . I 2 = ρ . c p . π . D 2 4 . d T d t

Dividindo por “ π . D . h ” e reorganizando:

- ρ . c p . D 4 h . d T d t = T s - T ∞ - R e ' . I 2 h . π . D

Agora a gente pode fazer a seguinte mudança de variável:

η = T s - T ∞ - R e ' . I 2 h . π . D

Assim:

- ρ . c p . D 4 . h . d η d t = η

1 η . d η d t = - 4 . h ρ . c p . D

d η η = - 4 . h ρ . c p . D d t

Integrando a equação desde o tempo inicial ( t = 0   s ) até um instante qualquer:

∫ η i η d η η = - ∫ 0 t 4 . h ρ . c p . D d t

ln ⁡ η η i = - 4 . h ρ . c p . D . t - 0

Reorganizando:

η η i = exp ⁡ - 4 . h ρ . c p . D . t

Voltando para as variáveis convencionais (expressão para η ):

T - T ∞ - R e ' . I 2 π . D . h T i - T ∞ - R e ' . I 2 π . D . h = exp ⁡ - 4 . h . t ρ . c p . D

Substituindo os valores do enunciado:

87,7 - 25   K - 63,7   K 25 - 25   K - 63,7   K = exp ⁡ - 4 . 500   W . m - 2 . K - 1 . t 8000   k g . m - 3 . 500   J . k g - 1 . K - 1 . 0,001   m

Aplicando o logaritmo natural na equação:

t = 8,31   s

Resposta

  1. T s = 361,7   K
  2. t = 8,31   s

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