Exercícios Resolvidos de Método dos Parâmetros Concentrados

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Enunciado

Uma esfera de aço ( ρ = 7800   k g / m 3 , c p = 0,46   k J / k g K , k = 55   W / m K ) de 5   c m de diâmetro está inicialmente a temperatura uniforme igual a 450 ° C . A esfera é subitamente colocada num ambiente mantido a 100 ° C .

Faça um balanço de calor na esfera e obtenha a equação de conservação de energia, justificando as suas hipóteses. Calcule o tempo requerido para a esfera atingir 150 ° C , considerando que o coeficiente convectivo de troca de calor vale 10   W / m 2 K .

Passo 1

A equação de calor para uma superfície esférica é dada por:

1 r 2 . ∂ ∂ r k r 2 ∂ T ∂ r + 1 r 2 sen 2 ⁡ θ . ∂ ∂ ϕ k ∂ T ∂ ϕ + 1 r 2 sen ⁡ θ . ∂ ∂ θ k sen ⁡ θ ∂ T ∂ θ + q ˙ = ρ c p . ∂ T ∂ t

Vamos utilizar as seguintes hipóteses:

  • Transferência de calor somente na direção radial;
  • Transferência de calor sem geração terma q ˙ = 0 ;
  • Propriedades térmicas constantes.

Aplicando essas simplificações, teremos:

1 r 2 . ∂ ∂ r k r 2 ∂ T ∂ r = ρ c p . ∂ T ∂ t

Passo 2

Para determinar como a temperatura varia com o tempo, vamos calcular o número de Biot pra saber se vamos usar o método dos parâmetros concentrados, ou o método dos efeitos espaciais.

O número de Biot é dado por:

B i = h . L c k = h . D 6 . k = 10 × 0,05 6 × 55 → B i = 0,0015

Opa! Como B i < 0,1 , podemos usar o método dos parâmetros concentrados.

Passo 3

Pelo método dos parâmetros concentrados, teremos o seguinte:

t = ρ . V . c p h . A . ln ⁡ θ i θ t = ρ . V . c p h . A . ln ⁡ T i - T ∞ T t - T ∞

Onde V / A = D / 6 . Assim:

t = ρ . D . c p 6 h . ln ⁡ T i - T ∞ T t - T ∞

Substituindo os valores:

t = 7800 × 0,05 × 0,46 × 10 3 6 × 10 × ln ⁡ 450 - 100 150 - 100

t = 5818   s

Resposta

t = 1,62   h

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