Exercícios Resolvidos de Método dos Parâmetros Concentrados

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Enunciado

Uma esfera sólida de aço ( ρ = 7835   k g . m - 3 ,   c p = 559   J . k g - 1 . K - 1   e   k = 48,8   W . m - 1 . K - 1 ) de 300   m m de diâmetro é revestida com uma camada de material dielétrico de espessura 2   m m e condutividade térmica 0,04   W . m - 1 . K - 1 . A esfera revestida está inicialmente a uma temperatura de 500 o C e é subitamente resfriada em um grande banho de óleo, o qual se encontra a T ∞ = 100 o C e h =   3300   W . m - 2 . K - 1 . Estime o tempo necessário para que a temperatura da esfera revestida atinja 140 o C .

Dica: despreze o efeito do armazenamento de energia no material dielétrico, uma vez que sua capacidade térmica ( ρ . c . V ) é pequena quando comparada com a da esfera de aço.

Passo 1

Esse é exatamente pra gente exercitar e ver se entendemos tudo certinho! Bora lá!

A situação proposta pelo enunciado pode ser esquematizada da seguinte forma:

Bom, então a gente tem que calcular quanto tempo leva pra esfera atingir 140 o C . Como é um problema transiente, a gente pode verificar se dá pra usar o método dos parâmetros concentrados

Então, bora calcular o número de Biot desse problema:

B i = h . L c k

Mas aqui a gente não tem só a esfera, tem também um revestimento que a gente precisa contabilizar! Mas tem uma forma da gente simplificar isso, dá uma olhada!

A gente sabe que uma esfera aquecida sem isolamento vai perder calor para o fluido e essa transferência está associada à resistência de convecção do meio. Se colocarmos um revestimento, essa resistência à transferência aumenta e passa a ser:

R t o t = R c o n v + R r e v e s t  

Substituindo as expressões da resistência convectiva e condutiva na esfera:

R t o t = 1 h . A + 1 / r 1 - 1 / r 2 4 π . k  

R t o t = 1 3300   W . m - 2 . K - 1 . π . 0,302   m 2 + 0,150   m - 1 - 0,152   m - 1 4 π . ( 0,04   W . m - 1 . K - 1 )

R t o t = 0,176   K . W - 1

Mas por que estamos fazendo isso? Porque a gente precisa de uma expressão para o coeficiente de convecção ( h ) pra calcular o B i , mas não podemos usar o 3300   W . m - 2 . K - 1 direto, porque temos que levar em consideração a resistência do revestimento.

Agora que a gente já sabe a resistência, podemos propor um coeficiente global de transferência ( U ), que contabiliza os dois efeitos (condução e convecção) da seguinte forma:

U . A = 1 R t o t

U . A = 5,7   W . K - 1

Dividindo pela área da esfera, a gente fica com o coeficiente global:

U = 5,7   W . K - 1 π . 0,300   m 2  

U = 20   W . m - 2 . K - 1

A gente deve calcular o B i com esse valor!

Passo 2

Além disso, o comprimento característico ( L c ) pode ser calculado de duas maneiras:

  1. Razão entre o volume do sólido e a área superficial do sólido.
  2. Comprimento correspondente à maior diferença de temperatura no sólido.

Bora ver quanto dá cada um deles. Pela razão entre volume e área da esfera, a gente fica com:

L c = V e s f A e s f             →             L c = π 6 . D 3 π . D 2           →             L c = D 6

Pela distância que corresponde a maior diferença de temperatura, a gente tem que:

L c = D 2

Como o B i fica menor usando a primeira opção, bora usar ele, porque assim fica mais fácil da aproximação do método dos parâmetros concentrados valer ^^

Assim:

B i = h . D 6 . k             →             B i = 20   W . m - 2 . K - 1 . 0,300   m 6 . 48,8   W . m - 1 . K - 1             →             B i = 0,021

Como B i < 0,1 , a gente pode usar o método dos parâmetros concentrados! Então, vamos aos cálculos!

Passo 3

O enunciado é um exemplo do caso A, então temos que:

t = ρ . V . c p h . A . ln ⁡ θ i θ

Podemos escrever de outra forma:

t = ρ . D . c p 6 . U . ln ⁡ θ i θ

Substituindo os valores do enunciado:

t = 7835   k g . m - 3 . 0,300   m . 559   J . k g - 1 . K - 1 6 . 20   W . m - 2 . K - 1 . ln ⁡ 773 - 373   K 413 - 373   K

t = 25212   s  

Isso equivale a aproximadamente 7 h !

Resposta

t = 25212   s           ( = ~ 7 h )

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