Exercícios Resolvidos de Método Matricial – Caso Não Homogêneo

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Enunciado

Considere a equação

u ' ' t - u t = 0

a) Escreva esta equação na forma de um sistema.

b) Encontre a solução geral do sistema.

Passo 1

a) Fala aí! Tá bem?

A gente tem ali uma EDO de segunda ordem. Mas precisamos montar um sistema com EDOs de primeira ordem. Tem um passo a passo para fazer isso. Só seguir ele que dá bom!

Primeiro, a gente isola o termo com maior ordem. No nosso caso, u ' ' t :

u ' ' t - u t = 0 ∴ u ' ' t = u t                         ( i )

Percebe que a gente tem uma EDO de ordem n = 2 . Aí a gente precisa introduzir n - 1 variáveis nessa história, ou seja, introduzir uma variável nova!

Como a gente faz isso? Vamos dizer que a nossa variável é a y . A gente iguala ela a derivada de primeira ordem

y = u '                   i i

E daí a gente tira que

y ' = u ' '

Aí montamos um sistema com a equação que a gente já tinha i e a que a gente criou i i , e substituímos   y ' = u ' ' , para tirar esse termo de seguda ordem:

u ' ' = u y = u ' ∴ y ' = u y = u ' ∴ y ' = u u ' = y

Pronto! Esse é o nosso sisteminha.

Passo 2

Aí podemos colocar ele na forma na matricial. Ela tem essa cara:

X ' t = A X t + g t

Não temos nenhum termo só de t no sistema, aí não vai ter g t . E X ' e X , a gente pode definir assim:

X ' t = y ' u ' ,     X t = y u  

E para montar A , a primeira coluna vai ser os coeficientes de y nas duas equações. Como só temos y na equação de baixo:

A = 0   1  

E a segunda coluna representa os coeficientes de u , como ele só aparece na primeira equação:

A = 0 1 1 0

Aí por fim, nosso sistema é:

X ' t = A X t + g t

X ' t = 0 1 1 0 X t

y ' u ' = 0 1 1 0 y u

Arrasamos!

Passo 3

b) Queremos achar uma solução na forma:

X t = c 1 x 1 + c 2 x 2

Para isso, a gente precisa começar achando os autovalores de A :

A = 0 1 1 0

Vamos usar a equação

det ⁡ A - λ I = 0

Onde I   é a matriz identidade. Substituindo as coisinhas que a gente tem:

0 1 1 0 - λ 0 0 λ = 0

- λ 1 1 - λ = 0

Calculando esse determinante:

λ 2 - 1 = 0 ∴ λ 1 = 1 ,   λ 2 = - 1

Passo 4

Como nossos dois autovalores são reais e diferentes, a gente vai ter uma solução da forma:

x 1 = v 1 e λ 1 t ,     x 2 = v 2 e λ 2 t

Onde v 1 e v 2 são nossos autovetores, que achamos assim:

A - λ 1 I v 1 = 0 →

A - λ 2 I v 2 = 0 →

Bora achar eles!

Passo 5

Vamos começar achando v 1 . Substituindo nossos dados na equação

A - λ 1 I v 1 = 0 →

E chamando v 1 = a 1 , b 1 . Temos:

0 1 1 0 - 1 0 0 1 a 1 b 1 = 0 0

- 1 1 1 - 1 a 1 b 1 = 0 0 ∴ - a 1 + b 1 = 0 a 1 - b 1 = 0

Dessas duas equações só tiramos uma informação:

a 1 = b 1

Aí a gente pode escolher um valor de a 1 que facilite a nossa vida, por exemplo, a 1 = 1 :

a 1 = b 1 = 1

v 1 = 1,1

Passo 6

Vamos achar v 2 . Substituindo nossos dados na equação

A - λ 2 I v 2 = 0 →

E chamando v 1 = a 2 , b 2 . Temos:

0 1 1 0 - - 1 0 0 - 1 a 2 b 2 = 0 0

1 1 1 1 a 2 b 2 = 0 0 ∴ a 2 + b 2 = 0 a 2 + b 2 = 0

Dessas duas equações só tiramos uma informação:

a 2 = - b 2

Aí a gente pode escolher um valor de a 2 que facilite a nossa vida, por exemplo, a 2 = 1 :

a 2 = 1 ,     b 2 = - 1

v 1 = 1 , - 1

Passo 7

Agora temos tudo para montar nossa solução geral!

X t = c 1 x 1 + c 2 x 2

x 1 = v 1 e λ 1 t ,     x 2 = v 2 e λ 2 t

X t = c 1 v 1 e λ 1 t + c 2 v 2 e λ 2 t

Como

λ 1 = 1 ,     v 1 = 1,1

λ 2 = - 1 ,     v 2 = 1 , - 1

Aí nossa solução fica:

X t = c 1 1 1 e t + c 2 1 - 1 e - t

Ufa! Deu tudo certo!

Resposta

a) y ' u ' = 0 1 1 0 y u

b) X t = c 1 1 1 e t + c 2 1 - 1 e - t

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