Exercícios Resolvidos de Método Matricial – Caso Não Homogêneo

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Enunciado

(a) Encontre a solução do sistema linear homogêneo de e.d.o’s usando o método de autovalores e autovetores:

x ' t = 4 - 2 8 - 4 x t

(b) Encontre a solução geral do sistema linear não-homogêneo (cujo sistema homogêneo associado está na parte (a)) utilizando o método de variação de parâmetros:

x ' t = 4 - 2 8 - 4 x t + t 2 t 2

Passo 1

Então pessoal, a gente está olhando pra uma equação que tem essa forma aqui:

d d t X t = A X t

Estamos usando as letras maiúsculas para representar as matrizes.

Obs.: No final das contas, isso é só uma forma “agrupada” de resolver sistemas de e.d.o.’s.

O enunciado pediu que a gente usasse o método de autovalores e autovetores, então vamos juntos lembrar como se aplica esse método.

Passo 2

O primeiro passo é escrever uma forma geral para X t . Para o método de autovalores e autovetores, a melhor forma geral é essa aqui:

X t = e λ t V

Onde o V é um vetor constante com a mesma ordem de X .

Substituindo isso na e.d.o.:

d d t e λ t V = A e λ t V

Já que o V é um vetor constante, a gente pode tirar ele da derivada:

d d t e λ t V = A e λ t V

Resolvendo a derivada daquela exponencial do lado esquerdo, a constante λ vai “cair”:

λ e λ t V = A e λ t V

e λ t λ V - A V = 0

Dividindo os dois lados por e λ t :

λ V - A V = 0

A V = λ V

Beleza! Chegamos em um problema de autovalor e autovetor, é isso mesmo que queríamos.

Passo 3

Agora a gente pode seguir os passos de sempre pra determinar os autovalores da matriz A .

Primeiro a gente precisa resolver a equação característica que segue essa fórmula aqui:

A V = λ V         ⇒           det ⁡ A - λ I = 0

Então vamos montar essa matriz A - λ I :

A - λ I = 4 - 2 8 - 4 - λ 1 0 0 1

A - λ I = 4 - λ - 2 8 - 4 - λ

E agora temos que calcular o determinante dessa matriz:

det ⁡ A - λ I = 4 - λ - 2 8 - 4 - λ

det ⁡ A - λ I = 4 - λ - 4 - λ - - 2 8

Simplificando um pouco essa expressão:

det ⁡ A - λ I = - 16 - 4 λ + 4 λ + λ 2 + 16

det ⁡ A - λ I = λ 2

E agora igualar a zero:

λ 2 = 0

Ou seja, o único autovalor é:

λ = 0

Passo 4

O próximo passo é encontrar o autovetor associado a esse autovalor. Ou seja, temos que satisfazer essa relação aqui:

A - λ I V = 0

Onde V = a b é o autovetor que a gente quer determinar:

4 - 2 8 - 4 - 0 1 0 0 1 a b = 0 0

4 - 2 8 - 4 a b = 0 0

Multiplicando as duas matrizes:

4 a - 2 b 8 a - 4 b = 0 0

E isso dá um sistema de duas equações e duas varáveis:

4 a - 2 b = 0 8 a - 4 b = 0

As duas equações dão o mesmo resultado (porque a de baixo é simplesmente a de cima multiplicada por dois):

4 a - 2 b = 0

b = 2 a

Ou seja, o autovalor λ = 0 tem um autovetor com a seguinte forma:

V = a 1 2

Por enquanto a gente pode escolher (arbitrariamente) que a = 1 , então o autovalor λ = 0 produz o autovetor:

V = 1 2

Isso deixa a gente com só uma solução.

Passo 5

E agora, como podemos encontrar uma segunda solução linearmente independente?

Afinal de contas, a gente só tem um autovalor mesmo, mas dá pra encontrar um segundo autovetor? Sim! O autovetor generalizado.

A equação para encontrar esse autovetor V ' é a seguinte:

A - λ I V ' = V

V ' = c d

Percebeu? É igual a outra equação, mas ao invés de igualar a zero, você iguala ao autovetor que já foi encontrado.

Então tá, vamos substituir os valores:

4 - 2 8 - 4 - 0 I c d = 1 2

4 - 2 8 - 4 c d = 1 2

Resolvendo esse produto de matrizes:

4 c - 2 d 8 c - 4 d = 1 2

E isso dá um sistema de duas equações:

4 c - 2 d = 1 8 c - 4 d = 2

As duas equações dão o mesmo resultado (porque a segunda é simplesmente a primeira multiplicada por 2 ):

4 c - 2 d = 1

Vamos fixar uma constante c = k , de forma que:

4 k - 2 d = 1

2 d = 4 k - 1

d = 2 k - 1 2

E então o autovetor generalizado é:

V ' = k 2 k - 1 2

Passo 6

Tá, e o que a gente faz com esse autovetor? Como é a solução associada a ele? Bom, por enquanto a gente tem:

X 1 t = c 1 1 2 e 0 t = c 1 1 2

A solução associado ao autovetor generalizado tem essa forma aqui:

X 2 t = c 2 V t + V ' e 0 t

Então, como e 0 = 1 :

X 2 t = c 2 V t + V '

X 2 t = c 2 1 2 t + k 2 k - 1 / 2

Separando essa matriz da direita em duas:

X 2 t = c 2 1 2 t + 1 2 k + 0 - 1 / 2

Mas agora a segunda matriz é simplesmente o múltiplo da primeira, então podemos “agrupar” as duas:

X 2 t = c 2 1 2 t + 0 - 1 / 2

Beleza, então agora temos as seguintes soluções:

X t = X 1 t + X 2 t

X t = c 1 1 2 + c 2 1 2 t + 0 - 1 / 2

Passo 7

(b) Agora falta encontrar a solução dessa equação aqui:

X ' t = 4 - 2 8 - 4 X t + t 2 t 2

O método de variação de parâmetros exige que a gente faça o seguinte: primeiro, vamos chutar uma solução.

X p = X U

Onde X é a matriz fundamental do sistema, essa matriz é formada pelas duas soluções independentes que a gente encontrou ali em cima:

c 1 1 2 + c 2 t 2 t - 1 / 2         ⇒           X = 1 t 2 2 t - 1 2

Aqui é só literalmente juntar as duas matrizes em uma única.

E U é uma matriz de funções:

U = u 1 u 2

E a derivada U ' é:

U ' = u ' 1 u ' 2

Passo 8

A gente quer que esse X p seja solução dessa equação:

X ' t = 4 - 2 8 - 4 X t + t 2 t 2

Que tem essa forma geral aqui:

X ' t = A X x + F t

E pelo método de variação de parâmetros, o nosso X p = X U é uma solução quando:

X U ' = F

Então:

1 t 2 2 t - 1 / 2 u ' 1 u ' 2 = t 2 t 2

Resolvendo esse produto de matrizes do lado esquerdo:

u 1 ' + t u 2 ' 2 u 1 ' + 2 t - 1 2 u 2 ' = t 2 t 2

E isso dá um sistema de duas equações:

u 1 ' + t u 2 ' = t 2 u 1 ' + 2 t - 1 2 u 2 ' = 2 t 2

Multiplicando a primeira equação por 2 :

2 u 1 ' + 2 t u 2 ' = 2 t 2 u 1 ' + 2 t - 1 2 u 2 ' = 2 t 2

Agora subtraindo a segunda da primeira:

2 t u 2 ' - 2 t - 1 2 u 2 ' = 2 t - 2 t 2

1 2 u 2 ' = 2 t - 2 t 2

u 2 ' = 4 t - 4 t 2

E agora substituindo isso na primeira equação:

2 u 1 ' + 2 t 4 t - 4 t 2 = 2 t

2 u 1 ' + 8 t 2 - 8 t 3 = 2 t

u 1 ' = 4 t 3 - 4 t 2 + t

Ou seja:

U ' = u ' 1 u ' 2 = 4 t 3 - 4 t 2 + t 4 t - 4 t 2

Passo 9

Agora a gente pode integrar isso tudo pra encontrar U :

U ' = 4 t 3 - 4 t 2 + t 4 t - 4 t 2

∫ 4 t 3 - 4 t 2 + t d t = t 4 - 4 3 t 3 + 1 2 t 2 + C 1

∫ 4 t - 4 t 2 d t = 2 t 2 - 4 3 t 3 + C 2

Tomando as constante como sendo iguais a zero, o nosso vetor U é:

U = t 4 - 4 3 t 3 + 1 2 t 2 2 t 2 - 4 3 t 3

E então a nossa solução particular é:

X p = X U

X p = 1 t 2 2 t - ( 1 / 2 ) t 4 - ( 4 / 3 ) t 3 + ( 1 / 2 ) t 2 2 t 2 - ( 4 / 3 ) t 3

Multiplicando essas duas matrizes:

X p = t 4 - 4 3 t 3 + 1 2 t 2 + 2 t 3 - 4 3 t 4 2 t 4 - 8 3 t 3 + t 2 + 4 t 3 - 8 3 t 4 - t 2 + 4 6 t 3

Simplificando um pouco:

X p = - 1 3 t 4 + 2 3 t 3 + 1 2 t 2 - 2 3 t 4 + 2 t 3

Pronto! Essa é a solução particular.

Passo 10

Então a solução geral é a seguinte:

X t = X t + X p t

X t = c 1 1 2 + c 2 1 2 t + 0 - 1 / 2 + - 1 3 t 4 + 2 3 t 3 + 1 2 t 2 - 2 3 t 4 + 2 t 3

Beleza, essa é a solução geral do sistema!

Resposta

(a) A solução do sistema homogêneo é X t = c 1 1 2 + c 2 1 2 t + 0 - 1 / 2 .

(b) A solução geral é X t = c 1 1 2 + c 2 1 2 t + 0 - 1 / 2 + - 1 3 t 4 + 2 3 t 3 + 1 2 t 2 - 2 3 t 4 + 2 t 3 .

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