Exercícios Resolvidos de Método Matricial – Caso Não Homogêneo

Zill DG, Cullen MR. Matemática Avançada para Engenharia-Vol III. Editora Bookman,2009. Cap 1, p 53 exercício 9.

Encontre a solução do sistema de EDO dado.

x ' = - x - 2 y + 3 y ' = 3 x + 4 y + 3

Com

X 0 = - 4 5

Passo 1

Pra começar, precisamos colocar o sistema na forma matricial. Como já vimos, o sistema vai ficar

X ' = - 1 - 2 3 4 X + 3 3

Agora, vamos separar a parte homogênea da não homogênea

A = - 1 - 2 3 4 ,   g t = 3 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos primeiro resolver o sistema homogêneo. Temos que achar os autovalores de A .

Lembra é só fazer

- 1 - λ - 2 3 4 - λ = 0

- 1 - λ 4 - λ + 6 = 0

λ 2 - 3 λ + 2 = 0

λ 1 = 3 + 1 2 = 3 + 1 2 = 4 2 = 2

λ 2 = 3 - 1 2 = 3 - 1 2 = 2 2 = 1

Esse é o caso de autovalores diferentes, vamos agora achar seus autovetores.

Passo 3

Agora temos que achar os autovetores associados, para isso vamos ter

A - λ 1 I v 1 = 0

- 3 - 2 3 2 x 1 x 2 = 0 0

E o autovetor associado vai ser

v 1 = 2 - 3

Fazendo o mesmo pro outro autovetor

A - λ 2 I v 2 = 0

Vamos fazer

v 2 = y 1 y 2

- 2 - 2 3 3 y 1 y 2 = 0 0

E o autovetor associado vai ser

v 2 = 1 - 1

Passo 4

Tendo os dois autovetores e o autovalor as soluções são da forma

x 1 = v 1 e λ 1 t

x 2 = v 2 e λ 2 t  

Então

x 1 = 2 - 3 e 2 t

x 2 = 1 - 1 e t  

A solução homogênea vai ficar

X h t = C 1 2 - 3 e 2 t + C 2 1 - 1 e t

Passo 5

Agora temos que encontrar a solução particular. A parte não homogênea do nosso sistema é dada por

g t = 3 3

Vamos supor que nossa solução particular vai ser dada por

X p = A B

X p ' = 0

Passo 6

Substituindo os valores no sistema

0 0 = - 1 - 2 3 4 A B + 3 3

Agora é só resolver para encontrar A e B

0 = - A - 2 B + 3

0 = 3 A + 4 B + 3

Resolvendo encontramos

A = - 9 ,   B = 6

Então

X p = - 9 6

Passo 7

A solução geral fica

X = X h + X p

X = C 1 2 - 3 e 2 t + C 2 1 - 1 e t + - 9 6

Agora é só aplicar a condição inicial

X 0 = - 4 5

X = C 1 2 - 3 e 2 . 0 + C 2 1 - 1 e 0 + - 9 6

Resolvendo o sistema

- 4 = 2 C 1 + C 2 - 9 5 = - 3 C 1 - C 2 + 6

Encontramos

C 1 = - 4 ,   C 2 = 13

Resposta

X t = - 4 2 - 3 e 2 t + 13 1 - 1 e t + - 9 6

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