Exercícios Resolvidos de Método Matricial – Caso Não Homogêneo

UNICAMP, Cálculo 3, P2 - 2011.1 - Noturno, Questão 3

Considere o sistema

x 1 ' = - 3 2 x 1 + x 2 + 2 t   e - t x 2 ' = - 1 4 x 1 - 1 2 x 2 + e - t

( a ) Escreva a solução geral do sistema homogêneo associado na forma x t = Ψ t C onde Ψ ( t ) é uma matriz 2 × 2 e C = c 1 c 2 .

( b ) Resolva o sistema linear algébrico Ψ t U ' t = g ( t ) para U t = u 1 ( t ) u 2 ( t ) onde g t = 2 t   e - t e - t e encontre uma solução particular do sistema.

Passo 1

( a ) O sistema dado é um sistema não-linear homogêneo x ' = A x + g ( t ) , com

A = - 3 2 1 - 1 4 - 1 2 ,     g = 2 t e - t e - t ,     x = x 1 x 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar buscando os autovalores de A :

det A - λ I = 0

- 3 2 - λ 1 - 1 4 - 1 2 - λ = 0

- 3 2 - λ - 1 2 - λ + 1 4 = 0

λ 2 + 2 λ + 1 = 0

λ + 1 2 = 0

λ 1,2 = - 1

O autovalor λ = - 1 é repetido, com multiplicidade dois.

Passo 3

Agora, vamos avaliar os autovetores correspondentes:

  A - λ I v = 0

- 3 2 - ( - 1 ) 1 - 1 4 - 1 2 - ( - 1 ) a b = 0 0

- 1 2 a + b = 0

b = 1 2 a

Logo, os autovetores (associados ao único autovalor λ = - 1 ) são da forma

v 1 = a b = a 1 2 a = a 1 1 2 ,   a R

Passo 4

Beleza, agora já podemos achar a primeira solução do sistema linear homogêneo associado, x ' = A x . Fazendo a = 2 , temos v 1 = 2 1 .

x 1 = e - t v 1

x 1 = e - t 2 1 = 2 e - t e - t

Passo 5

Para achar a solução linearmente independente de x ( 1 ) (chamaremos de x ( 2 ) ) , vamos calcular v 2 :

  A - λ I v 2 = v 1

- 3 2 - ( - 1 ) 1 - 1 4 - 1 2 - ( - 1 ) a b = 2 1

- 1 2 a + b = 2 - 1 4 a + 1 2 b = 1

b = 2 + 1 2 a

Se a = 0 , então b = 2 e v 2 = 0 2 . Portanto,

x ( 2 ) = t e - t v 1 + e - t v 2

x ( 2 ) = t e - t 2 1 + e - t 0 2

x ( 2 ) = 2 t e - t ( 2 + t ) e - t

Passo 6

Vamos montar, então, a matriz fundamental:

Ψ t = x 1     x 2

Ψ t = 2 e - t 2 t e - t e - t ( 2 + t ) e - t

Assim, a solução geral do sistema homogêneo é:

x = c 1 x ( 1 ) + c 2 x ( 2 )       ( c 1 ,   c 2 R )

x = x 1     x 2 c 1 c 2

x = Ψ t C

Com Ψ t dado acima e C = c 1 c 2 :

x = 2 e - t 2 t e - t e - t ( 2 + t ) e - t c 1 c 2

Passo 7

( b ) Para resolver o sistema linear não-homogêneo, fazemos Ψ t U ' t = g ( t ) , com U t = u 1 ( t ) u 2 ( t ) e g t = 2 t   e - t e - t .

2 e - t 2 t e - t e - t ( 2 + t ) e - t u 1 ' u 2 ' = 2 t   e - t e - t

e - t 2 2 t 1 2 + t u 1 ' u 2 ' = e - t 2 t 1

2 2 t 1 2 + t u 1 ' u 2 ' = 2 t 1

u 1 ' + t u 2 ' = t         ( I ) u 1 ' + 2 + t u 2 ' = 1       ( I I )

Passo 8

De I I - ( I ) , obtemos

2 u 2 ' = 1 - t

u 2 ' = 1 2 - 1 2 t

E, assim, de I :

u 1 ' = t - t u 2 '

u 1 ' = t - 1 2 t + 1 2 t 3 / 2

Resolvendo para u 1 e u 2 :

u 1 =     t - 1 2 t + 1 2 t 3 / 2   d t = 2 3 t 3 / 2 - 1 4 t 2 + 1 5 t 5 / 2 + c

u 2 =     1 2 - 1 2 t   d t = 1 2 t - 1 3 t 3 2 + c

Passo 9

Uma solução particular do sistema dado (não-homogêneo) é:

x p = Ψ t U ( t )

x p = e - t 2 2 t 1 2 + t 2 3 t 3 / 2 - 1 4 t 2 + 1 5 t 5 / 2 1 2 t - 1 3 t 3 2

x p = e - t 2 2 3 t 3 2 - 1 4 t 2 + 1 5 t 5 2 + 2 t 1 2 t - 1 3 t 3 2 2 3 t 3 2 - 1 4 t 2 + 1 5 t 5 2 + ( 2 + t ) 1 2 t - 1 3 t 3 2

x p = e - t 4 3 t 3 2 + 2 1 5 - 1 3 t t 5 2 + 1 2 t 2 1 5 - 1 3 t t 5 2 + 1 4 t 2 + t

Resposta

a x = 2 e - t 2 t e - t e - t ( 2 + t ) e - t c 1 c 2

( b ) x p = e - t 4 3 t 3 2 + 2 1 5 - 1 3 t t 5 2 + 1 2 t 2 1 5 - 1 3 t t 5 2 + 1 4 t 2 + t

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