Exercícios Resolvidos de Método Matricial – Caso Não Homogêneo

William E. Boyce, Equações diferenciais Elementares e problemas de valores de contorno, 8ªed. Rio de Janeiro: LTC, 2006, pp. 234, exercício 9 – Modificado

Encontre a solução geral do sistema de equação dado

X ' = - 5 4 3 4 3 4 - 5 4 X + 2 t e - 2 t

Passo 1

Esse nosso sistema é não homogêneo, a primeira coisa que temos que fazer é determinar g t

Repara que temos

g t = 2 t e t

Beleza a próxima coisa que temos que fazer é resolver o sistema homogêneo, que vai ser

X ' = - 5 4 3 4 3 4 - 5 4 X

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos resolver esse sistema pelo cálculo funcional. A primeira coisa que devemos fazer é identificar o valor da matriz A

A = - 5 4 3 4 3 4 - 5 4

Passo 3

Agora temos que achar o autovalores de A .

Lembra é só fazer

- 5 4 - λ 3 4 3 4 - 5 4 - λ = 0

- 5 4 - λ - 5 4 - λ - 3 4 . 3 4 = 0

λ 2 + 5 2 λ + 25 16 - 9 16 = 0

λ 2 + 5 2 λ + 1 = 0

Multiplicando por 2

2 λ 2 + 5 λ + 2 = 0

λ 1 = - 5 + 5 2 - 4 2 2 2.2 = - 5 + 25 - 16 4 = - 5 + 9 4 = - 5 + 3 4 = - 2 4 = - 1 2

λ 2 = - 5 - 5 2 - 4 2 2 2.2 = - 5 - 25 - 16 4 = - 5 - 9 4 = - 5 - 3 4 = - 8 4 = - 2

Esse é o caso de autovalores diferentes, então só precisas achar os autovetores normalmente.

Passo 4

Agora temos que achar os autoespaços associados, para isso vamos ter

A v 1 = λ 1 I v 1

- 5 4 3 4 3 4 - 5 4 x 1 x 2 = - 1 2 0 0 - 1 2 x 1 x 2

- 5 x 1 4 + 3 x 2 4 3 x 1 4 - 5 x 2 4 = - x 1 2 - x 2 2

Vamos ter

- 5 x 1 4 + 3 x 2 4 = - x 1 2

- 5 x 1 + 3 x 2 = - 2 x 1

3 x 2 = 5 x 1 - 2 x 2

x 1 = x 2

E o autovetor associado vai ser

v 1 = x 1 x 1

Podemos tirar esse x 1

v 1 = 1 1

Precisamos achar o outro autovetor

A v 2 = λ 2 I v 2

Vamos fazer

v 2 = y 1 y 2

- 5 4 3 4 3 4 - 5 4 y 1 y 2 = - 2 0 0 - 2 y 1 y 2

- 5 x 1 4 + 3 x 2 4 3 x 1 4 - 5 x 2 4 = - 2 x 1 - 2 x 2

Vamos ter

- 5 y 1 4 + 3 y 2 4 = - 2 y 1

- 5 y 1 + 3 y 2 = - 8 y 1

3 y 2 = 5 y 1 - 8 y 2

y 2 = - y 1

E o autovetor associado vai ser

v 2 = y 1 - y 1

Podemos tirar esse y 1

v 2 = 1 - 1

Passo 5

Tendo os dois autovetores e o autovalor as soluções são da forma

x 1 = v 1 e λ 2 t

x 2 = v 2 e λ 2 t  

Então

x 1 = 1 1 e - t 2

x 2 = 1 - 1 e - 2 t  

A solução da homogênea vai ficar

X h t = C 1 1 1 e - t 2 + C 2 1 - 1 e - 2 t

Passo 6

Agora temos que achar a solução particular, lembra que g t vai ser

g t = 2 t e - 2 t

Vamos dar uma separada nessas duas funções porque elas são diferentes

g t = 2 0 t + 0 1 e - 2 t

A solução particular vai ser polinomial de maior grau que apareceu em g t , que vai ser de grau 1 , além disso vamos ter uma parte exponencial também. Vamos ter

X p = x p y p = a t + b + c e - 2 t

Repara que esse exponencial aparece na solução da homogênea, então temos que multiplicar esse cara por t e ainda assim colocar um e - 2 t , e a solução particular na verdade vai ser

X p = x p y p = a t + b + c t e - 2 t + d e - 2 t

Vamos chamar esse vetor a , b , c e d da seguinte forma

a = A B

b = C D

c = E F

d = G H

Assim fica mais fácil fazer as contas ali na frente.

X p = x p y p = A B t + C D + E F t e - 2 t + G H e - 2 t

Repara que nenhuma dessas paradas está na solução da parte homogênea.

Agora temos que cálculo a derivada dessa parada

Passo 7

A derivada vai ficar

X p ' = x p ' y p ' = A B + E F e - 2 t - 2 t e - 2 t + - 2 G - 2 H e - 2 t

Passo 8

Agora vamos substituir X p ' e X p no sistema

Vamos primeiro listar as funções aqui para ajudar

x p = A t + C + E t e - 2 t + G e - 2 t

y p = B t + D + F t e - 2 t + H e - 2 t

x p ' = A + E e - 2 t - 2 E t e - 2 t - 2 G e - 2 t

y p ' = B + F e - 2 t - 2 F t e - 2 t - 2 H e - 2 t

Substituindo no sistema vamos ter

- 5 4 3 4 3 4 - 5 4

A + E e - 2 t - 2 E t e - 2 t - 2 G e - 2 t = - 5 4 A t + C + E t e - 2 t + G e - 2 t + 3 4 B t + D + F t e - 2 t + H e - 2 t + 2 t B + F e - 2 t - 2 F t e - 2 t - 2 H e - 2 t = 3 4 A t + C + E t e - 2 t + G e - 2 t - 5 4 B t + D + F t e - 2 t + H e - 2 t + e - 2 t

Vamos arrumar essas contas, primeiro vamos multiplicar todo mundo por 4 para acabar com essa maldita fração

4 A + 4 E e - 2 t - 8 E t e - 2 t - 8 G e - 2 t = - 5 A t + C + E t e - 2 t + G e - 2 t + 3 B t + D + F t e - 2 t + H e - 2 t + 8 t 4 B + 4 F e - 2 t - 8 F t e - 2 t - 8 H e - 2 t = 3 A t + C + E t e - 2 t + G e - 2 t - 5 B t + D + F t e - 2 t + H e - 2 t + 4 e - 2 t

Dando mais uma arrumada, deixando tudo que é parecido junto

4 A + 4 E - 8 G e - 2 t - 8 E t e - 2 t = t - 5 A + 3 B + 8 + 3 D - 5 C + 3 F - 5 E t e - 2 t + - 5 G + 3 H e - 2 t 4 B + 4 F - 8 H e - 2 t - 8 F t e - 2 t = t 3 A - 5 B + 3 C - 5 D + 3 E - 5 F t e - 2 t + ( 3 G - 5 H + 4 ) e - 2 t

Isso nos diz que

4 A = 3 D - 5 C

0 = - 5 A + 3 B + 8

4 E - 8 G = 3 H - 5 G

- 8 E = 3 F - 5 E

0 = 3 A - 5 B

4 B = 3 C - 5 D

4 F - 8 H = 3 G - 5 H + 4

- 8 F = 3 E - 5 F

Que sistema LINDO, só que não né? Nesse momento você para e respira fundo, essas contas são monstruosamente gigantes, mas temos que mostrar do exercício mais fácil para o mais difícil para você, provável que seu professor não queira atrapalhar a vida dos alunos com algo surreal como isso, mas se cair algo assim você vai estar preparado =D

Passo 9

É um algebrismo mostro, mas vamos que eu vou fazer cada pedacinho para você entender bem e eu tbm né rs.

Vamos arrumar todas as equações

4 A = 3 D - 5 C

8 A = 8 - 3 B

4 E = 3 H + 3 G

- 3 E = 3 F

3 A = 5 B

4 B = 3 C - 5 D

4 F = 3 G + 3 H + 4

- 3 F = 3 E

Temos duas equações com E e F , isso nos diz que

3 E = - 3 F

E = - F

Temos duas equações de A e B

0 = - 5 A + 3 B + 8

0 = 3 A - 5 B

Vamos ter

A = 5 B 3

Substituindo na outra equação

0 = - 25 B 3 + 3 B + 8

0 = - 25 B + 9 B + 24

16 B = 24

B = 24 16 = 3 2

Assim

A = 5 3 3 2 = 5 2

Já achamos dois vamos ao resto.

As equações que sobraram foram

4 A = 3 D - 5 C

F = - E

4 E = 3 H + 3 G

4 B = 3 C - 5 D

4 F = 3 G + 3 H + 4

Temos o valor de e A B e pela primeira equação temos

4 5 2 = 3 D - 5 C

10 = 3 D - 5 C

C = 3 D 5 - 10 5

C = 3 D 5 - 2

Então vamos ter

4 3 2 = 3 3 D 10 - 2 - 5 D

6 = 9 D 5 - 6 - 5 D

30 + 30 = 9 D - 25 D

60 = - 16 D

D = - 60 16 = - 15 4

Então

C = 3 5 - 15 4 - 2 = - 9 4 - 2 = - 17 4

Faltam 4 agora, mas se você se lembra do exemplo que vimos na teoria, um par desse caras não vão ser resolvidos, vai cair naquela situação onde podemos escolher os caras.

F = - E

4 E = 3 H + 3 G

4 F = 3 G + 3 H + 4

Isso nos diz que

F = - E

4 F = 4 E + 4

Então

4 - E = 4 E + 4

- 4 E = 4 E + 4

- 8 E = 4

E = - 1 2

E

F = 1 2

Agora vamos ter

4 - 1 2 = 3 H + 3 G

- 2 = 3 H + 3 G

Isso nos diz que

H = - 2 - 3 G 3

Esse é o cara que vai ficar na escolha do freguês, isso vai aparecer quando multiplicamos a solução particular por t para ficar diferente da homogênea, aquele termo que somamos, que tem a cara da homogênea que vai ficar com esses caras que escolhemos o valor.

Vamos recapitular os valores que achamos

B = 3 2

A = 5 2

D = - 15 4

C = - 17 4

E = - 1 2

F = 1 2

H = - 2 - 3 G 3

Assim nossa solução particular vai ficar

X p = x p y p = 5 2 3 2 t + - 17 4 - 15 4 + - 1 2 1 2 t e - 2 t + G - 2 - 3 G 3 e - 2 t

Vamos pegar o valor mais simples possível para G , que é 0 , então nossa solução particular vai ficar

X p = x p y p = 5 2 3 2 t + - 9 8 - 15 8 + - 1 2 1 2 t e - 2 t + 0 - 2 3 e - 2 t

Passo 10

A solução geral vai ser

X = X h + X P

Então

X = C 1 1 1 e - t 2 + C 2 1 - 1 e - 2 t + 5 2 3 2 t + - 9 8 - 15 8 + - 1 2 1 2 t e - 2 t + 0 - 2 3 e - 2 t

E não precisa arrumar essa bagunça n, está certinho.

Resposta

X = C 1 1 1 e - t 2 + C 2 1 - 1 e - 2 t + 5 2 3 2 t + - 9 8 - 15 8 + - 1 2 1 2 t e - 2 t + 0 - 2 3 e - 2 t

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