Exercícios Resolvidos de Método Matricial – Caso Não Homogêneo

Dennis Zill, Equações diferenciais volume II, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2006, pp19-17

Resolva o sistema dado quando R 1 = 6   o h m s ,   R 2 = 5   o h m s ,   L 1 = 1   h e n r y ,   L 2 = 1   h e n r y ,   E t = 50 sen t   v o l t s .

L 1 d i 2 d t + R 1 + R 2 i 2 + R 1 i 3 = E t L 2 d i 3 d t + R 1 i 2 + R 1 i 3 = E t

Passo 1

Vamos começar substituindo os valores que o problema deu pra gente e manipular um pouco para escrever o sistema naquele formato característico de sistema de EDOs.

d i 2 d t = - 1 1 i 2 - 6 i 3 + 50 sen t d i 3 d t = - 6 i 2 - 6 i 3 + 50 sen t

Agora tá bem claro que temos um sistema de EDO não homogêneo. Vamos escreve-lo na forma matricial.

i 2 ' i 3 ' = - 11 - 6 - 6 - 6 i 2 i 3 + 1 1 50 sen t

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos resolver primeiro o sistema homogêneo associado. Para isso vamos utilizar o método matricial. A nossa matriz de coeficientes do sistema é dada por.

A = - 11 - 6 - 6 - 6

Vamos calcular os autovalores do sistema.

det A - λ I = 0

- 11 - λ - 6 - 6 - 6 - λ = 30 + 17 λ + λ 2 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau.

λ 1 = - 2 ,     λ 2 = - 15

Passo 3

Calculando os autovetores.

A - λ 1 I v 1 = 0

- 9 - 6 - 6 - 4   c 1 c 2 = 0 0

Ficamos então com o seguinte sistema

- 9 c 1 - 6 c 2 = 0 - 6 c 1 - 4 c 2 = 0

O nosso sistema admite qualquer solução da forma c 1 = - 2 3 c 2 . Vamos usar a seguinte solução então.

v 1 = - 2 3

Calculando o segundo autovetor.

A - λ 2 I v 2 = 0

4 - 6 - 6 9 d 1 d 2 = 0 0

Ficamos então com o seguinte sistema

4 d 1 - 6 d 2 = 0 - 6 d 1 + 9 d 2 = 0

Esse sistema aceita qualquer solução da forma d 1 = 3 2 d 2 . Vamos usar a seguinte solução.

v 2 = 3 2

Passo 4

Como os autovalores são distintos sabemos que

I h = i 2 h i 3 h = C 1 - 2 3 e - 2 t + C 2 3 2 e - 15 t

Passo 5

Agora temos que calcular a solução particular. Como a parte não homogênea do nosso sistema é dada por.

g t = 1 1 50 sen t  

Vamos supor a seguinte solução particular então.

I p = i 2 p i 3 p = A B sen t + C D cos t

Calculando I p '

I p ' = i 2 p ' i 3 p ' = A B cos t - C D sen t

Passo 6

Substituindo os valores no sistema.

A B cos t - C D sen t = - 11 - 6 - 6 - 6 A B sen t + C D cos t + 1 1 50 sen t

Desse sistema matricial podemos remover as seguintes equações em função dos coeficientes A ,   B ,   C   e   D .

A = - 11 C - 6 D

B = - 6 C - 6 D

- C = - 11 A - 6 B + 50

- D = - 6 A - 6 B + 50

Manipulando as equações temos.

79 A = 425 - 51 B

73 B = 600 - 102 A

Disso tiramos que

A = 85 113 ,     B = 813 113 ,     C = 145 113 ,     D = - 280 113

Logo a solução do sistema será.

I = i 2 i 3 = I h + I p

i 2 i 3 = C 1 - 2 3 e - 2 t + C 2 3 2 e - 15 t + 85 113 813 113 sen t + 145 113 - 280 113 cos t

Resposta

i 2 i 3 = C 1 - 2 3 e - 2 t + C 2 3 2 e - 15 t + 85 113 813 113 sen t + 145 113 - 280 113 cos t

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