Exercícios Resolvidos de Método Matricial – Caso Não Homogêneo

PUCRIO, Cálculo 4 - MAT1154, G2 - 2012.1, Questão 1a

Resolver os problemas de valor inicial abaixo:

y ' - A y = b t       ,         A = 5 - 2 2 5

b t = 5 cos t - s e n t cos t + 5 s e n t         ,         y 0 = 0 0  

Passo 1

Repare que esse sistema é não homogêneo então para achar a solução geral dele temos que primeiro achar a solução do sistema homogêneo associado:

y ' = A y

y 0 = 0 0

E depois achar a solução particular, olhando para a cara de b ( t ) e assim chutando uma solução.

A solução homogênea é dada por

X h ( t ) = α ( t ) A + β ( t ) I C 1 C 2

Onde , α t   ,   β ( t ) são funções a serem determinadas e C 1 , C 2   são constantes.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Primeiro vamos resolver o sistema homogêneo:

y ' = A y

y 0 = 0 0

Para isso vamos achar os autovalores da matriz A .

det A - λ I = 0

5 - λ - 2 2 5 - λ = 0

5 - λ 2 + 4 = 0

λ 2 - 10 λ + 29 = 0

λ 1 = 5 + 2 i   ,   λ 2 = 5 - 2 i

Portanto temos dois autovalores complexos com parte real diferente de zero.

Passo 3

Como os autovalores são complexos temos que resolver o seguinte sistema:

5 + 2 i α + β = e 5 t cos 2 t + i s e n 2 t

5 - 2 i α + β = e 5 t cos 2 t - i s e n 2 t

Subtraindo a primeira equação da segunda, ficamos com

4 i α = 2 i e 5 t s e n 2 t

α = e 5 t s e n 2 t 2

E portanto

5 + 2 i e 5 t s e n 2 t 2 + β = e 5 t cos 2 t + i e 5 t s e n 2 t

β = e 5 t cos 2 t - 5 2 e 5 t s e n ( 2 t )

Logo, a solução homogênea do sistema é dada por

X h t = e 5 t s e n 2 t 2 A + e 5 t cos 2 t - 5 2 e 5 t s e n ( 2 t ) I C 1 C 2

Onde A   é a matriz dada no problema e I é a matriz identidade.

Passo 4

Para achar a solução particular do sistema, olhamos para a cara de b ( t ) .

Temos que b t = 5 cos t - s e n t cos t + 5 s e n t .

Então, seria bem justo se procurássemos a solução particular da forma

X p = acos t + b s e n t c c o s t + d s e n t

Onde a , b , c , d são constantes a serem determinadas.

Substituindo X p   no nosso sistema ficamos com:

- asen t + b c o s t - c s e n t + d c o s t - 5 - 2 2 5 acos t + b s e n t c c o s t + d s e n t = 5 cos t - s e n t cos t + 5 s e n t

- asen t + b c o s t - c s e n t + d c o s t - ( 5 a - 2 c ) cos t + ( 5 b - 2 d ) s e n t ( 2 a + 5 c ) cos t + ( 2 b + 5 d ) s e n t = 5 cos t - s e n t cos t + 5 s e n t

( - 5 a + 2 c + b ) cos t + ( - 5 b + 2 d - a ) s e n t ( - 2 a - 5 c + d ) cos t + ( - 2 b - 5 d - c ) s e n t = 5 cos t - s e n t cos t + 5 s e n t

Passo 5

Agora, comparando as duas matrizes, temos que a , b , c , d tem que satisfazer

                              - 5 a + b + 2 c = 5                        

                        - a - 5 b + 2 d = - 1          

- 2 a - 5 c + d = 1

- 2 b - c - 5 d = 5

Na segunda equação ficamos com

- a - 5 b + 2 d = - 1 a = - 5 b + 2 d + 1

E na quarta ficamos com

- 2 b - c - 5 d = 5 c = - 2 b - 5 d - 5

Substituindo esses dois valores no sistema ficamos com

- 5 - 5 b + 2 d + 1 + b + 2 - 2 b - 5 d - 5 = 5   22 b - 20 d = 20 11 b - 10 d = 10

- 2 - 5 b + 2 d + 1 - 5 - 2 b - 5 d - 5 + d = 1 20 b + 22 d = - 22 10 b + 11 d = - 11

Então nosso sistema de quatro equações se tornou um sistema de duas, agora vamos resolver ele:

11 b - 10 d = 10

10 b + 11 d = - 11

Multiplicando a primeira por 10 e a segunda por 11:

110 b - 100 d = 100

110 b + 121 d = - 121

Fazendo a segunda menos a primeira:

221 d = - 221

d = - 1

b = 0

Agora substituindo esses valores achamos a   e c :

                              - 5 a + 2 c = 5                        

                        - a = 1          

a = - 1

c = 0

Então a solução particular é dada por

X p = - cos t - s e n t

Passo 6

A solução geral é dada pela soma da solução particular com a solução homogênea, então

Y t = e 5 t s e n 2 t 4 A + e 5 t cos 2 t + i e 5 t 2 - 5 s e n 2 t I C 1 C 2 + - cos t - s e n t

Passo 7

Falta acharmos os valores de C 1 e C 2 agora. Para tal, usamos as condições iniciais:

Y 0 = e 0 s e n 0 4 A + e 0 cos 0 + i e 0 2 - 5 s e n 0 I C 1 C 2 + - cos 0 - s e n 0

y 0 = C 1 C 2 + - 1 0 = 0 0

Logo:

C 1 = 1

C 2 = 0

Logo, a solução será: Y t = e 5 t s e n 2 t 4 A + e 5 t cos 2 t + i e 5 t 2 - 5 s e n 2 t I 1 0 + - cos t - s e n t  

Resposta

Y t = e 5 t s e n 2 t 4 A + e 5 t cos 2 t + i e 5 t 2 - 5 s e n 2 t I 1 0 + - cos t - s e n t

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