Exercícios Resolvidos de Método Matricial – Caso Não Homogêneo

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Enunciado

Utilize o método matricial para resolver o sistema apresentado.

  X ' = - 3 2 - 1 - 1 X + - 2 t 2 t + 5

Passo 1

Pois bem, para resolvermos o problema não homogêneo, temos que resolver primeiro o problema da homogênea associada: x h e depois encontrar a solução particular x p . A solução final vai ser a soma das duas:

x = x h + x p

Vamos nessa?

Passo 2

Vamos primeiro resolver o sistema homogêneo associado (que é o sistema desconsiderando a parte não homogênea, se lembra?)

X ' = - 3 2 - 1 - 1 X

Assim, a nossa matriz dos coeficientes será dada por:

A = - 3 2 - 1 - 1

Agora temos que achar os autovalores de A . Bora lá?

Passo 3

Lembra: achar autovalor é só fazer o cálculo desse determinante aqui:

A - λ I = 0

Ou em termos de matrizes...

- 3 2 - 1 - 1 - λ 0 0 λ = 0   →

- 3 - λ 2 - 1 - 1 - λ = 0

Determinante de matriz dois por dois é só pegar o produto da diagonal principal menos o produto da secundária, lembrou? Isso é importante, heim :

- 3 - λ - 1 - λ - - 1 . 2 = 0

Fazendo as continhas vamos ganhar os lambdas que nesse caso são...

λ 2 + 4 λ + 3 + 2 = 0

λ 2 + 4 λ + 5 = 0

Complexos:

λ 1 = - 2 + i

λ 2 = - 2 - i

Passo 4

Ok! Precisamos agora encontrar os autovetores. Se liga que aqui vai ser um pouco chato, pois estamos lidando com números complexos! Já sabemos que:

a = - 2

b = 1

Informações do próprio autovalor λ 1 = - 2 + i , neh. Lembra-se que os autovalores vão ser da forma

v 1 = a → + b → i

v 2 = a → - b → i

Então só precisamos achar um deles né? Para isso vamos ter condição de autovetor:

A v 1 = λ 1 I v 1

Consideraremos aqui o vetor v 1 = x 1 x 2 , onde esse x 1 e x 2 são também números complexos, ok? Então substituindo...

- 3 2 - 1 - 1 x 1 x 2 = - 2 + i 0 0 - 2 + i x 1 x 2   →

- 3 x 1 + 2 x 2 - x 1 - x 2 = - 2 + i x 1 - 2 + i x 2

Vamos ter através da primeira linha (lembre-se que você também pode escolher a segunda):

- 3 x 1 + 2 x 2 = - 2 + i x 1 →

2 x 2 = 1 + i x 1

x 2 = 1 + i 2 x 1

E o autovetor associado vai ser

v 1 = x 1 1 + i 2 x 1

Podemos tirar esse x 1 (escolher ele como igual a 1 ):

v 1 = 1 1 + i 2 =

E separar agora as partes reais e imaginárias:

1 1 / 2 + 0 1 / 2 i

Então

a → = 1 1 / 2

b → = 0 1 / 2

Passo 5

Esse é o caso de autovalores complexos, então as respostas fundamentais serão do tipo:

x 1 = e a t a → cos ⁡ b t - b → sen ⁡ b t

x 2 = e a t a → sen ⁡ b t + b → cos ⁡ b t

Ora, a gente encontrou quem é a e b através do autovalor, e a → e b → através dos autovetores:

a = - 2

b = 1

a → = 1 1 / 2

b → = 0 1 / 2

Só mesmo substituir:

x 1 = e - 2 t 1 1 / 2 cos ⁡ 1 t - 0 1 / 2 sen ⁡ 1 t

x 2 = e - 2 t 1 1 / 2 sen ⁡ 1 t + 0 1 / 2 cos ⁡ 1 t

E a solução da parte homogênea vai ser então a combinação das duas fundamentais:

X h = C 1 x 1 + C 2 x 2 →

X h t = C 1 e - 2 t 1 1 / 2 cos ⁡ 1 t - 0 1 / 2 sen ⁡ 1 t + C 2 e - 2 t 1 1 / 2 sen ⁡ 1 t + 0 1 / 2 cos ⁡ 1 t

Passo 6

Agora temos que encontrar a solução particular. A parte não homogênea do nosso sistema é dada por

g t = - 2 t 2 t + 5

Como temos dois polinômios onde o maior grau é 2 , vamos supor que nossa solução particular vai ser dada por polinômios do segundo grau também:

X p = A B t 2 + C D t + E F

Derivando...

X p ' = 2 t A B + C D

E substituindo os valores no sistema

X ' = - 3 2 - 1 - 1 X + - 2 t 2 t + 5   →

2 t A B + C D = - 3 2 - 1 - 1 A B t 2 + C D t + E F + - 2 0 t 2 + 0 1 t + 0 5

Sim, fica enorme! Vamos separar em dois lados (lado direito e esquerdo) e fazer as continhas com calma em dois passos, ok?

Passo 7

Primeiro o lado esquerdo:

2 t A B + C D

Multiplicando o 2 t no vetor:

2 A t 2 B t + C D

Somando os dois vetores...

2 A t + C 2 B t + D

Passo 8

Lado direito:

- 3 2 - 1 - 1 A B t 2 + C D t + E F + - 2 0 t 2 + 0 1 t + 0 5

Primeiro vamos fazer o mesmo que fizemos no passo anterior, só que dentro desses colchetes:

- 3 2 - 1 - 1 A t 2 + C t + E B t 2 + D t + F + - 2 0 t 2 + 0 1 t + 0 5

Vamos fazer o mesmo com os três últimos vetores agora (aproveitar e eliminar esses colchetes):

- 3 2 - 1 - 1 A t 2 + C t + E B t 2 + D t + F + - 2 t 2 t + 5

Presta atenção agora, pois devemos multiplicar as duas matrizes!

- 3 2 - 1 - 1 A t 2 + C t + E B t 2 + D t + F + - 2 t 2 t + 5   →

- 3 A t 2 + C t + E + 2 B t 2 + D t + F - A t 2 + C t + E - B t 2 + D t + F + - 2 t 2 t + 5   →

Simplificando os termos...

- 3 A t 2 - 3 C t - 3 E + 2 B t 2 + 2 D t + 2 F - A t 2 - C t - E - B t 2 - D t - F + - 2 t 2 t + 5   →

- 3 A t 2 - 3 C t - 3 E + 2 B t 2 + 2 D t + 2 F - 2 t 2 - A t 2 - C t - E - B t 2 - D t - F + t + 5   →

Colocando em evidência o t 2 e também o t ...

- 3 A + 2 B - 2 t 2 + - 3 C + 2 D t + ( - 3 E + 2 F ) - A - B t 2 - C - D + 1 t + ( - E - F + 5 )

Passo 9

Finalmente, podemos voltar para a igualdade do passo 5

2 t A B + C D = - 3 2 - 1 - 1 A B t 2 + C D t + E F + - 2 0 t 2 + 0 1 t + 0 5

E substituir os dois lados que simplificamos:

2 A t + C 2 B t + D = - 3 A + 2 B - 2 t 2 + - 3 C + 2 D t + ( - 3 E + 2 F ) - A - B t 2 - C - D + 1 t + ( - E - F + 5 )

Por igualdade de vetores ganhamos...

2 A t + C = - 3 A + 2 B - 2 t 2 + - 3 C + 2 D t + ( - 3 E + 2 F )

2 B t + D = - A - B t 2 - C - D + 1 t + ( - E - F + 5 )

Poxa, para as igualdade de cima ser verdadeira, o termo que multiplica t 2 devem ser 0 , já que não tem nenhu t 2 do lado esquerdo:

- 3 A + 2 B - 2 = 0

- A - B = 0

Onde a gente tira que A = - 2 / 5 e B = 2 / 5 . Ainda, podemos ver que o termo que multiplica t nas duas equações do lado esquerdo, deve ser igual ao termo da direita:

2 A = - 3 C + 2 D

2 B = - C - D + 1

Onde ganhamos C = 6 / 25 e D = - 1 / 25 . Por último, vem a igualdade dos termos livres das duas equações:

C = - 3 E + 2 F

D = - E - F + 5

Resolvendo encontramos

  E = 246 125 , F = 384 125

Resumindo, encontramos os seguintes coeficientes:

A = - 2 5 ,   B = 2 5 ,   C = 6 25 ,   D = - 1 25 ,   E = 246 125 , F = 384 125

Como a resposta da particular é:

X p = A B t 2 + C D t + E F

Então substituindo...

X p = - 2 5 2 5 t 2 + 6 25 - 1 25 t + 246 125 384 125

Passo 10

Finalmente, a solução geral fica

X = X h + X p

X = C 1 e - 2 t 1 1 / 2 cos ⁡ 1 t - 0 1 / 2 sen ⁡ 1 t + C 2 e - 2 t 1 1 / 2 sen ⁡ 1 t + 0 1 / 2 cos ⁡ 1 t + - 2 5 2 5 t 2 + 6 25 - 1 25 t + 246 125 384 125

Resposta

X t = C 1 e - 2 t 1 1 / 2 cos ⁡ 1 t - 0 1 / 2 sen ⁡ 1 t + C 2 e - 2 t 1 1 / 2 sen ⁡ 1 t + 0 1 / 2 cos ⁡ 1 t + - 2 5 2 5 t 2 + 6 25 - 1 25 t + 246 125 384 125

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