Exercícios Resolvidos de Método Matricial – Caso Não Homogêneo

Elaboração Própria

Utilize o método matricial para resolver o sistema apresentado.

  X ' = - 3 2 - 1 - 1 X + - 2 t 2 t + 5

Passo 1

Vamos primeiro resolver o sistema homogêneo associado. A nossa matriz dos coeficientes será dada por:

A = - 3 2 - 1 - 1

Agora temos que achar os autovalores de A .

Lembra é só fazer

- 3 - λ 2 - 1 - 1 - λ = 0

- 3 - λ - 1 - λ - - 1 . 2 = 0

λ 2 + 4 λ + 3 + 2 = 0

λ 2 + 4 λ + 5 = 0

λ 1 = - 2 + i

λ 2 = - 2 - i

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Temos que achar a e b pelos autovetores associados, já sabemos que

a = - 2

b = 1

Lembra que eles vão ser da forma

v 1 = a + b i

v 2 = a - b i

Então só precisamos achar um deles né.

Para isso vamos ter

A v 1 = λ 1 I v 1

- 3 2 - 1 - 1 x 1 x 2 = - 2 + i 0 0 - 2 + i x 1 x 2

- 3 x 1 + 2 x 2 - x 1 - x 2 = - 2 + i x 1 - 2 + i x 2

Vamos ter

- 3 x 1 + 2 x 2 = - 2 + i x 1

2 x 2 = 1 + i x 1

x 2 = 1 + i 2 x 1

E o autovetor associado vai ser

v 1 = x 1 1 + i 2 x 1

Podemos tirar esse x 1

v 1 = 1 1 + i 2 = 1 1 / 2 + 0 1 / 2 i

Então

a = 1 1 / 2

b = 0 1 / 2

Passo 3

Esse é o caso de autovalores complexos, então

x 1 = e a t a cos b t - b sen b t

x 2 = e a t a sen b t + b cos b t

Vamos ter a solução sendo

x 1 = e - 2 t 1 1 / 2 cos 1 t - 0 1 / 2 sen 1 t

x 2 = e - 2 t 1 1 / 2 sen 1 t + 0 1 / 2 cos 1 t

E a solução da parte homogênea vai ser

X h t = C 1 e - 2 t 1 1 / 2 cos 1 t - 0 1 / 2 sen 1 t + C 2 e - 2 t 1 1 / 2 sen 1 t + 0 1 / 2 cos 1 t

Passo 4

Agora temos que encontrar a solução particular. A parte não homogênea do nosso sistema é dada por

g t = - 2 t 2 t + 5

Vamos supor que nossa solução particular vai ser dada por

X p = A B t 2 + C D t + E F

X p ' = 2 t A B + C D

Passo 5

Substituindo os valores no sistema

2 t A B + C D = - 3 2 - 1 - 1 A B t 2 + C D t + E F + - 2 0 t 2 + 0 1 t + 0 5

Sim, fica enorme! Mas pode fazer as contas com calma que você vai ver que dá certinho.

2 A t + C = - 3 A + 2 B - 2 t 2 + - 3 C + 2 D t + ( - 3 E + 2 F )

2 B t + D = - A - B t 2 - C - D + 1 t + ( - E - F + 5 )

E vamos ter que resolver um sistema

- 3 A + 2 B - 2 = 0

- A - B = 0

2 A = - 3 C + 2 D

2 B = - C - D + 1

C = - 3 E + 2 F

D = - E - F + 5

Resolvendo encontramos

A = - 2 5 ,   B = 2 5 ,   C = 6 25 ,   D = - 1 25 ,   E = 246 25 , F = - 120 25

Então

X p = - 2 5 2 5 t 2 + 6 25 - 1 25 t + 246 25 - 120 25

Passo 6

Finalmente, a solução geral fica

X = X h + X p

X = C 1 e - 2 t 1 1 / 2 cos 1 t - 0 1 / 2 sen 1 t + C 2 e - 2 t 1 1 / 2 sen 1 t + 0 1 / 2 cos 1 t + - 2 5 2 5 t 2 + 6 25 - 1 25 t + 246 25 - 120 25

Resposta

X t = C 1 e - 2 t 1 1 / 2 cos 1 t - 0 1 / 2 sen 1 t + C 2 e - 2 t 1 1 / 2 sen 1 t + 0 1 / 2 cos 1 t + - 2 5 2 5 t 2 + 6 25 - 1 25 t + 246 25 - 120 25

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