Exercícios Resolvidos de Modelagem de Problemas

Dennis Zill, Equações diferenciais volume II, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2006, pp26-18

Considere dois tanques A e B com o líquido sendo bombeado para dentro e para fora às taxas mostradas na figura abaixo. Sendo o tanque A contendo 50 litros de água em que foram dissolvidos 25 gramas de sal e o tanque B contendo 50 litros de água pura. Qual é o sistema de equações diferenciais se, em lugar de água pura, bombearmos para dentro do tanque A uma solução de salmoura contendo 2 g / l .

Passo 1

Esse é um caso clássico de tanque, Para resolver temos que lembrar daquelas equações bizuradas que vimos na teoria. Seja   x 1 a concentração de sal no tanque A e x 2 a concentração no tanque B , Temos.

d x 1 d t = t a x a   e n t r a d a - t a x a   s a i d a d x 2 d t = t a x a   e n t r a d a - t a x a   s a i d a

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos aos valores. No problema ele diz que entra no tanque A água com concentração de 2 g / l a uma taxa de 3 l / m i n . Pela figura nós percebemos que também entra água vinda do tanque B , essa agua vai ter uma concentração de x 2 50 , que é a concentração de sal em B dividido pelo volume total.

t a x a   e n t r a d a = 2 × 3 + 1 × x 2 50

A taxa de saída do tanque A vai ter a concentração de A dividida pelo volume total, x 1 / 50 . Como a taxa é de 4 l / m i n

t a x a   s a i d a = 4 × x 1 50

Sendo assim.

d x 1 d t = 6 + x 2 50 - 4 x 1 50

Passo 3

Vamos tratar do tanque B agora. O tanque só recebe água do tanque A que vai ser igual a taxa de saída de A que nós já calculamos.

t a x a   e n t r a d a = 4 × x 1 50

A taxa de saída vão ser os dois fluxos que nós vemos na figura. Os dois tem a concentração de x 2 / 50 e as taxas como escrito na figura. Sendo assim.

t a x a   s a i d a = 1 × x 2 50 + 3 × x 2 50

Então a nossa equação fica

d x 2 d t = 4 x 1 50 - 4 x 2 50

Passo 4

O sistema fica

d x 1 d t = 6 + x 2 50 - 4 x 1 50 d x 2 d t = 4 x 1 50 - 4 x 2 50

Resposta

d x 1 d t = 6 + x 2 50 - 4 x 1 50 d x 2 d t = 4 x 1 50 - 4 x 2 50

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas