Exercícios Resolvidos de Modelagem de Problemas

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Enunciado

A função x t = - 1 2 g t 2 + 5 t + 9 descreve a posição de uma partícula no instante t, em que t represente o tempo em segundos. A velocidade da partícula em módulo, no instante t = 2 é?

Obs: use g = 981 c m / s 2

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

Essa parece uma questão de física, mas é de equações mesmo!

É que equações diferenciais são equações que levam em consideração uma variável e sua derivada, sendo assim podemos aplicar as técnicas de resolução a qualquer sistema do tipo!

A gente aprende lá na física que se uma partícula está em queda livre (movimento vertical no qual a partícula apenas está sob ação da aceleração da gravidade) sua posição x em função do instante de tempo t do movimento é dada segundo uma função do tipo assim:

x t = x 0 + v 0 t - g t 2 2

Onde v 0 e x 0 são as velocidade e posição inicial dessa partícula, e g é a aceleração da gravidade.

A função que foi dada no exercício foi essa aqui:

x t = - 1 2 g t 2 + 5 t + 9

O problema pergunta qual é o módulo (apenas o valor numérico, sem o sinal) da velocidade dessa partícula no instante t = 2 s .

Mas o que tem a ver a função da posição com a derivada e tudo mais?

É que a velocidade instantânea (velocidade em um dado instante de tempo), essa que o problema pediu, pode ser definida como a derivada temporal da posição!

Isso mesmo! Essa função dada é um exemplo que podemos aplicar os conceitos de equações diferenciais na física. Mais precisamente ao movimento de queda livre!

Então, tendo a função x ( t ) , podemos derivar dos dois lados em relação ao tempo e encontrar uma função da velocidade em função do tempo v ( t ) .

E aí para achar a velocidade em um certo instante, que é o que o problema pede, é só substituir t por 2 (que é o instante que o problema pergunta a velocidade)

Ah, e não esquece de usar g = 981 c m / s 2 como o problema indicou, ok?

Bora fazer?

Passo 2

A função x ( t ) é:

x t = - 1 2 g t 2 + 5 t + 9

E derivando os dois lados em relação ao tempo:

d d t x t = d d t - 1 2 g t 2 + 5 t + 9  

Podemos indicar a derivada temporal de uma variável com um ponto em cima:

x ˙ = v t = - g t + 5

Beleza?

Passo 3

Temos agora uma função que nos indica a velocidade dessa partícula em função do tempo!

Queremos o módulo da velocidade quando t = 2 s , e temos que g = 981 c m / s 2 , então agora basta substituir esses valores na função da velocidade:

v t = - g t + 5

v t = - 981 t + 5

v 2 = - 981 . 2 - 5 = - 1957 c m / s

Como a unidade da aceleração é da gravidade foi dada em c m / s 2 , a unidade da velocidade acompanha a mesma unidade de distância (que é o c m ) e acompanha também a unidade de tempo s (mas na potência 1 apenas), por isso a unidade da velocidade é c m / s

Mas notem que o problema nos pede o módulo da velocidade, então aquele “ “ (que indica que a partícula está se deslocando para o sentido negativo) deve ser suprimido da resposta:

v 2 = 1957   c m / s

Belezinha?

Então é isso!

Até a próxima!

Resposta

1957   c m / s

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