Exercícios Resolvidos de Modelagem de Problemas

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Enunciado

A função x t = - 7 2 g t 2 + 45 t + 9 descreve a posição de uma partícula no instante t, em que t represente o tempo em segundos. Determine a aceleração da partícula em módulo, no instante t = 2

Obs: use g = 981 c m / s 2

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

Essa parece uma questão de física, mas é de equações mesmo! É que equações diferenciais é uma equação que leva em consideração uma variável e sua derivada, sendo assim podemos aplicar as técnicas de resolução aplicado a qualquer sistema assim!

A gente aprende lá na física que se uma partícula está em queda livre (movimento vertical no qual a partícula apenas está sob ação da aceleração da gravidade) sua posição x em função do instante de tempo t do movimento é dada segundo uma função do tipo assim:

x t = x 0 + v 0 t - g t 2 2

Onde v 0 e x 0 são as velocidade e posição inicial dessa partícula, e g é a aceleração da gravidade.

A função que foi dada no exercício foi essa aqui:

x t = - 7 2 g t 2 + 4 5 t + 9

O problema pergunta qual é o módulo (apenas o valor numérico, sem o sinal) da aceleração dessa partícula no instante t = 2 s .

Mas o que tem a ver a função da posição com a derivada e tudo mais?

É que a aceleração instantânea (variação da velocidade em um dado instante de tempo), essa que o problema pediu, pode ser definida como a derivada segunda em relação ao tempo da posição!

Isso mesmo! A função dada é um exemplo que podemos aplicar os conceitos de equações diferenciais na física. Mais precisamente ao movimento de queda livre!

Então, tendo a função x ( t ) , podemos derivar duas vezes, dos dois lados, em relação ao tempo e encontrar uma função da aceleração em função do tempo a ( t ) .

E aí para achar a aceleração em um certo instante, que é o que o problema pede, é só substituir t por 2 (que é o instante que o problema pergunta a aceleração)

Ah, e não esquece de usar g = 981 c m / s 2 como o problema indicou, ok?

Bora fazer?

Passo 2

A função x ( t ) é:

x t = - 7 2 g t 2 + 4 5 t + 9

E derivando os dois lados em relação ao tempo:

d d t x t = d d t - 7 2 g t 2 + 4 5 t + 9  

Podemos indicar a derivada temporal de uma variável com um ponto em cima:

x ˙ = v t = - 7 g t + 4 5

Beleza?

Passo 3

Agora vamos derivar novamente para achar a aceleração:

x ¨ = d d t v t = d d t - 7 g t + 45

x ¨ = a t = - 7 g

Pronto! Achamos a função que nos dá a aceleração em função do tempo!

No nosso caso a aceleração independe da variável t : veja que t não aparece na função que achamos para a , mas tudo bem ser assim, isso nos diz que a aceleração é constante com o passar do tempo!

Passo 4

Temos agora uma função que nos indica a aceleração dessa partícula em função do tempo!

Queremos o módulo da velocidade quando t = 2 s , e temos que g = 981 c m / s 2 , então agora basta substituir esses valores (na prática apenas g precisa ser substituído, já que a independe de t ) na função da velocidade:

a t = - 7 g

a 2 = - 7 981 = - 6867 c m / s 2

Como estamos falando de aceleração, a unidade de a acompanha a unidade de g , pois estamos falando da mesma grandeza física: aceleração.

Mas o problema pediu o módulo dessa aceleração, então nem o sinal negativo e nem a unidade vão para a resposta! Apenas o valor numérico:

a 2 = 6867

Belezinha?

Então é isso!

Até a próxima!

Resposta

6867

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