Exercícios Resolvidos de Modelagem - MHS

UERJ - Cálculo 3 - Lista 6 Fernando Lopes - 1

Exercício nº 1 letra lista 6 de Cálculo III – IME - UERJ – Prof. Fernando Lopes C. -2014

Resolva o sistema de oscilações

Passo 1

Vamos usar a segunda lei de Newton para conseguir montar a equação diferencial.

F R = m a

Mas para isso, precisamos fazer o diagrama de forças.

Analisando as forças atuantes no bloco em um instante genérico temos:

Só temos a força elástica (normal e peso se anulam). Logo, a força resultante é a força elástica.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então, pelo diagrama de forças atuantes temos:

F R = F e l

Porém, pela Lei de Hooke:

F e l = - k x

Logo:

⇒ F R = - k x

Substituindo na Segunda Lei de Newton:

F R = m a

- k x = m a

Que é o mesmo que:

m d 2 x d t 2 + k x = 0

d 2 x d t 2 + k m x = 0

Onde:

ω 2 = k m

Passo 3

A equação característica dessa EDO é:

r 2 + ω 2 = 0

Logo

r = ± i ω

O que evidencia que a solução tem a carona de:

x = c 1 cos ⁡ ω t + c 2 s e n ⁡ ( ω t )

Da pra juntar esses dois caras em um só:

x = C . c o s ⁡ ( ω t + ϕ )

E tchã!Fechou clã! Isso vale para o pêndulo físico e o pêndulo simples! O que muda em cada um deles é o ω !

Resposta

x = C . c o s ⁡ ( ω t + ϕ )

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