Exercícios Resolvidos de Modelagem - MHS

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Enunciado

O sistema mostrado na Fig 2.19 modela o braço de um mecanismo de elevação de peso. Determinar sua frequência natural de oscilação em torno do ponto A .

Passo 1

Primeiro vamos começar o problema, entendendo o que estamos buscando no problema e como vamos chegar à solução. Ok?

Pois bem, estamos buscando a frequência natural do M H S - Movimento harmônico simples, mas que não é tão simples assim, não é mesmo rsrsrs. De acordo com a Teoria, se chegarmos a uma modelagem envolvendo uma EDO de 2º ordem como essa genérica aqui:

x ' ' + ω 0 2 x = 0

Então a frequência natural ω 0 pode ser encontrada a partir do termo que multiplica x . Então, basicamente devemos modelar o nosso problema e ver se a gente encontra algo parecido. Vamos nessa?

Passo 2

Para modelar o nosso problema, vamos basicamente utilizar em a física envolvida no nosso sistema: As Leis de Newton!

Considere então, o diagrama de forças livres no desenho a seguir:

Na massa m , temos basicamente a ação de duas forças: uma peso e outra proveniente da mola 2 . Como a massa vibra, ela tem aceleração, logo tem força resultante. De acordo com as leis de Newton, a força resultante é a soma das duas únicas forças que atuam na mola:

F r = F e 2 + P

Com isso temos a primeira equação. Agora, quero que você observe, também, que no problema, estamos trabalhando com rotações, então, também temos que encontrar uma equação para os torques!

Passo 3

As forças que causam torque na barra durante um tempo qualquer, é a resultante entre os torques causados pela mola 1 e pela mola 2 (duas únicas forças atuando sobre a barra):

τ r = τ 1 + τ 2

Assim como a questão da força, devido ao fato da barra vibrar, tem aceleração, logo não podemos falar que a resultante é zero, saca?

Pronto, do sistema físico a gente tira duas equações:

F r = F e 2 + P             ( I )

τ r = τ 1 + τ 2         ( I I )

Passo 4

Vamos estudar primeiro a primeira equação ( I ) :

F r = F e 2 + P  

A força resultante é Newton mesmo: F r = m ⋅ a . A aceleração tem um detalhe importante que precisamos discutir: ela é a aceleração resultante da massa:

No caso, a massa têm dois deslocamentos: x em vermelho e S 2 em verde. Como sabemos a aceleração resultante será a segunda derivada do deslocamento total em relação ao tempo:

a = x t + S 2 t ' ' = x ' ' + S 2 ' '

O arco S 2 é dado pelo produto do raio L pelo ângulo do arco:

S = L ⋅ θ t

Então...

F r = m ⋅ a = m x ' ' + L ⋅ θ ' '

Show! Agora vamos falar da força elástica F e 2 : como qualquer força elástica...

F e 2 = - k 2 ⋅ x

A força peso, no entanto:

P = m ⋅ g

Então a gente conclui isso aqui:

F r = F e 2 + P             →

m x ' ' + L ⋅ θ ' ' = - k 2 ⋅ x + m g           →

Passo 5

Vamos estudar primeiro a segunda equação ( I I ) :

τ r = τ 1 + τ 2  

Novamente, vamos começar pela resultante: τ r . Como estamos trabalhando com um sistema sem perdas de energia (característica de um MHS), podemos falar que o torque resultante em qualquer tempo, é o mesmo torque do início do movimento:

O legal de olhar o início, é que como as molas não estão esticadas, a única força que faz torque é o peso, então o torque resultante é:

τ r = L ⋅ P       →

τ r = L ⋅ m g

O torque da mola 1 , é o produto da força elástica pela distância de aplicação:

τ 1 = l ⋅ F e 1       →

Lembrando que F e 1 = - k 1 ⋅ S 1 , onde S 1 é o arco amarelo de distorção da mola 1 , dado pelo raio l vezes o ângulo de distorção...

τ 1 = l ⋅ - k 1 ⋅ S 1   →

τ 1 = l ⋅ - k 1 ⋅ l ⋅ θ t   →

τ 1 = - k 1 l 2 θ

O torque da mola 2 , por outro lado:

τ 2 = L ⋅ - F e 2

Esse menos é porque a força da mola que influencia no torque da barra é essa daqui:

Mas é a mesma coisa do passo anterior...

τ 2 = L ⋅ - F e 2           →             τ 2 = L ⋅ - - k 2 x           →

τ 2 = L ⋅ k 2 ⋅ x

Então... Concluímos esse com:

τ r = τ 1 + τ 2           →

L ⋅ m g = - k 1 l 2 θ t + L k 2 x t  

Passo 6

Com os dois passos anteriores, nos chegamos nessas duas equações:

m x ' ' t + L ⋅ θ ' ' t = - k 2 ⋅ x t + m g             I

L ⋅ m g = - k 1 l 2 θ t + L k 2 x t                                       I I

Vamos pegar essa segunda equação, isolar o x t (ou o θ t porque tanto faz kkk):

L m g = - k 1 l 2 θ t + L k 2 x t           →

L k 2 x t = L m g + k 1 l 2 θ t           →

x t = L m g L k 2 + k 1 l 2 L k 2 θ t  

Para substituir isso na primeira equação, vamos precisar da segunda derivada:

x t = m g k 2 + k 1 l 2 L k 2 θ t                             →                               x ' t = m g k 2 + k 1 l 2 L k 2 θ t '               →

O primeiro termo dessa derivada é constante, logo sua deriva é 0 ...

x ' t = k 1 l 2 L k 2 θ t ' = k 1 l 2 L k 2 θ ' t     →

Calculando agora a segunda derivada...

x ' ' t = k 1 l 2 L k 2 θ ' ' t  

Substituindo x t e x ' ' t na equação I ...

m x ' ' t + L ⋅ θ ' ' t = - k 2 ⋅ x t + m g         →

m k 1 l 2 L k 2 θ ' ' t + L ⋅ θ ' ' t = - k 2 ⋅ m g k 2 + k 1 l 2 L k 2 θ t + m g         →

m θ ' ' t k 1 l 2 L k 2 + L = - m g - k 1 l 2 L θ t + m g         →

Simplificando ainda mais...

m θ ' ' t k 1 l 2 L k 2 + L = - k 1 l 2 L θ t         →

θ ' ' t m k 1 l 2 L k 2 + m L 2 k 2 L k 2 + k 1 l 2 L θ t = 0         →

θ ' ' t m k 1 l 2 + m L 2 k 2 L k 2 + k 1 l 2 L θ t = 0         →

Dividindo todo mundo que multiplica o θ ' ' para chegar à equação que a gente quer chegar...

θ ' ' t + k 1 l 2 L m k 1 l 2 + m L 2 k 2 L k 2 θ t = 0         →

θ ' ' t + k 1 l 2 L ⋅ L k 2 m k 1 l 2 + m L 2 k 2 θ t = 0         →

θ ' ' t + k 2 k 1 l 2 m k 1 l 2 + m L 2 k 2 θ t = 0

Passo 7

Prontinho! Comparando então a EDO que acabamos de encontrar com a EDO geral de segunda ordem:

x ' ' + ω 0 2 x = 0

Concluímos que a frequência fundamental ω 0 é:

ω 0 = k 2 k 1 l 2 m k 1 l 2 + m L 2 k 2

Ou ainda:

ω 0 = l k 1 k 2 m k 1 l 2 + k 2 L 2

Resposta

ω 0 = l k 1 k 2 m k 1 l 2 + k 2 L 2

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