Exercícios Resolvidos de Modelagem - MHS

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Enunciado

Um pendulo é formado prendendo-se uma haste longa e fina de complrimento L e massa m em um dado ponto, que está a uma distância d acima do centro da haste. Encontre a equação diferencial do movimento e o período do pêndulo.

Passo 1

Primeiro vamos ver um esquema do pendulo descrito no enunciado:

Assim, vamos equacionar esse problema.

Passo 2

Vamos usar a Segunda Lei de Newton para rotação:

τ R = I α

Onde τ R é o torque resultante, I é o momento de inércia e α é a aceleração angular.

Vamos calcular o torque em relação ao ponto   O do eixo, ou seja, o ponto que não se move:

τ = - m g d sen ⁡ θ

Passo 3

Igualando as duas equações abaixo temos:

τ R = - m g d sen ⁡ θ

τ R = I α

- m g d sen ⁡ θ = I α

Como α = θ ¨

⇒ - m g d sen ⁡ θ = I θ ¨

⇒ I θ ¨ + m g d sen ⁡ θ = 0

Para pequenos valores de θ : sen ⁡ θ ≈ θ

Então:

I θ ¨ + m g d θ = 0

⇒ θ ¨ + m g d I θ = 0

Passo 4

Assim, encontramos a equação do pêndulo. Mas calma essa equação é um MHS, né?

Vamos lembrar que no MHS podemos escrever:

θ ¨ + ω 0 2 θ = 0

Comparando as equações chegamos a:

ω 0 2 =   m g d I ⇒ 2 π T = m g d I

Assim, o período de rotação é:

T = 2 π   I m g d  

Resposta

θ ¨ + m g d I θ = 0

T = 2 π   I m g d

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