Exercícios Resolvidos de Momento de Inércia e Raio de Rotação de Regiões Planas

Elaboração Própria

Encontre o momento de inércia em relação ao eixo x de um disco fino limitado pela circunferência x 2 + y 2 = a 2 se a densidade do disco em um ponto ( x , y ) for δ x , y = k x 2 + y 2 .

Passo 1

Vamos usar a fórmula que a gente viu na teoria:

I x = ∬ D   y 2   δ ( x , y ) d A

Mas a região é uma circunferência e a função da densidade também favorece coordenadas polares, então vamos ver como que fica isso!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos lembrar que para usarmos coordenadas polares, fazemos a mudança de váriaveis:

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

J = r

E a circunferência de raio a pode ser descrita como:

D = ( r , θ ) ∈ R 2 | 0 ≤ θ ≤ 2 π ,   0 ≤ r ≤ a

Então, na verdade, o que vamos mesmo fazer é:

I x = ∬ D   y 2   δ x , y d A = ∫ 0 2 π ∫ 0 a r sin ⁡ θ 2   k ( r 2 )   r   d r d θ

⇒ k ∫ 0 2 π ∫ 0 a r 5 sin 2 ⁡ θ d r d θ

= k ∫ 0 2 π 1 - cos ⁡ 2 θ 2 d θ ∙ r 6 6 │ 0 a = k a 6 6 ∙ θ 2 │ 0 2 π - sin ⁡ 2 θ 4 │ 0 2

⇒ k a 6 6 ∙ π = π k a 6 6

Resposta

I x = π k a 6 6

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