Exercícios Resolvidos de Momento de Inércia e Raio de Rotação de Regiões Planas

Uma lâmina homogênea tem a forma de um triângulo equilátero de lado a . Ache o momento de inércia em relação a um lado.

Passo 1

Momento de inércia em regiões planas vai ser sempre alguma dessas fórmulas aqui:

I x = ∬ D   y 2   δ x , y d A

I y = ∬ D   x 2   δ ( x , y ) d A

Mas vamos ver qual vamos escolher pra esse triângulo aí.

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Passo 2

Podemos desenhar ele no plano x y assim:

Então o momento de inércia a um lado pode ser o momento de inércia em relação a base, que está no eixo x .

E ele diz que a lâmina é homogênea, o que é o mesmo que dizer que a densidade é constante.

A fórmula que vamos usar, então, vai ser:

I x = ∬ D   y 2   δ x , y d A = k ∬ D y 2 d A

Passo 3

A região D é do tipo 2 e a altura do triângulo equilátero é dada por:

h = l 2 3 = a 3 2

Então vamos ter 0 ≤ y ≤ a 3 2 e x variando entre as duas retas dos lados do triângulo, que vão ter equações:

- a 2 , 0 → 0 , a 3 2 : y = 3   x + a 3 2

⇒ x = y 3 - a 2

0 , a 3 2 → a 2 , 0 : y = - 3   x + a 3 2

⇒ x = - y 3 + a 2

Então nossa integral vai ser:

k ∬ D y 2 d A = k ∫ 0 a 3 2 ∫ y 3 - a 2 - y 3 + a 2 y 2 d x d y

E, apesar de super esquisito, é só calcularmos.

Passo 4

Os valores são feiões, mas a conta não é difícil:

k ∫ 0 a 3 2 y 2 x │ y 3 - a 2 - y 3 + a 2 d y = k ∫ 0 a 3 2 y 2 - y 3 + a 2 - y 3 - a 2 d y

⇒ k ∫ 0 a 3 2 y 2 - 2 y 3 + a d y = k ∫ 0 a 3 2 a y 2 - 2 y 3 3 d y

⇒ k a y 3 3 │ 0 a 3 2 - y 4 2 3 │ 0 a 3 2

⇒ k a 4 3 8 - a 4 3 3 32 = k a 4 4 3 - 3 3 32

⇒ k 3 a 4 32

Ufa, foi! As contas foram estranhas, mas é só a gente deixar tudo organizadinho e não se perder que não fica tão difícil assim.

Resposta

k 3 a 4 32

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