Exercícios Resolvidos de Movimento Absoluto de Corpos Rígidos

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Enunciado

A barra A B gira uniformemente em torno do pino A , com velocidade angular constante ω . Determine a ) a velocidade e b ) a aceleração do bloco C , no instante em que θ = 60 ° .

Dados: L = 1   m ; ω = 2   r a d / s .

Passo 1

O que temos que fazer nesses tipos de questões é achar uma relação trigonométrica entre o que queremos saber e o que temos de informação. A questão quer saber o movimento de C quando θ = 60 ° :

Temos que o comprimento L da base pode ser escrito como:

L = L c o s θ + L c o s β

Dividindo toda nossa equação por L , temos:

1 = c o s θ + c o s β

Sabemos que θ = 60 ° , então:

1 = c o s 60 ° + c o s β       →           c o s β = 1 - c o s 60 °

β = arccos ⁡ 0,5

β = 60 °

Passo 2

Nós temos a seguinte relação:

1 = c o s θ + c o s β

Agora vamos derivar isso, para relacionar as velocidades angulares de A e C :

0 = d θ d t s e n θ + d β d t s e n β

Sabemos que:

d θ d t = ω = 2   r a d / s

Como θ = 60 ° e β = 60 ° , então:

ω s e n θ + ω C s e n β = 0       →           2 s e n 60 ° + ω C s e n 60 = 0

ω C = - 2   r a d / s

Passo 3

Vamos derivar a equação que achamos no passo anterior para acharmos uma relação entre as acelerações angulares:

d ( ω s e n θ ) d t + d ( ω C s e n β ) d t = 0      

Para derivar isso temos que usar a regra da cadeia e a regra do produto e vamos ficar com:

ω 2 c o s θ + α s e n θ + ω C 2 c o s β + α C s e n β = 0

Repare que a velocidade angular da barra A B é constante, então a sua velocidade angular será zero:

α = 0

Vamos substituir o que temos:

( 2 ) 2 c o s 60 ° + 0 s e n 60 ° + ( - 2 ) 2 c o s 60 ° + α C s e n 60 ° = 0

α C = - 4,62   r a d / s 2

Passo 4

Agora vamos achar uma equação que relacione o deslocamento vertical do bloco C :

Repare que o deslocamento vertical do ponto C será:

s C = L s e n β - L s e n θ

Sabemos que L = 1   m , θ = 60 ° e β = 60 ° , então:

s C = 1 s e n 60 ° - 1 s e n 60 °

s C = 0

Ou seja, não teve deslocamento vertical.

Passo 5

Agora vamos derivar essa equação que achamos para achar uma equação para a velocidade de C :

d s C d t = d ( L s e n β - L s e n θ ) d t

v C = L ω C c o s β - L ω c o s θ

Substituindo o que temos:

v C = 1 - 2 c o s 60 ° - 1 2 c o s 60 °

v C = - 2   m / s

Passo 6

Para acharmos a aceleração do bloco C , temos que derivar a equação da velocidade que acabamos de encontrar:

d v C d t = d ( L ω C c o s β - L ω c o s θ ) d t

Vamos ter que:

a C = - L ω C 2 s e n β + L α C c o s β + L ω 2 s e n θ - L α c o s θ

Substituindo os valores que já temos:

a C = - 1 - 2 2 s e n 60 ° + 1 ( - 4,62 ) c o s 60 ° + 1 2 2 s e n 60 ° - 1 ( 0 ) c o s 60 °

a C = - 2,31   m / s 2

Resposta

a )   v C = - 2   m / s

b )   a C = - 2,31   m / s 2

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