Exercícios Resolvidos de Movimento Absoluto de Corpos Rígidos

J.L. Meriam e L.G. Kraige, Mecânica para Engenharia, Estática, 6º ed. RJ: LTC, 2012, pp. 252-5/27

O cursor A se desloca na ranhura horizontal com uma velocidade constante v por um curto intervalo de movimento. Determine a velocidade angular ω da barra A B em termos do deslocamento x A .

Passo 1

Nosso primeiro passo neste tipo de questão é achar uma relação trigonométrica que relacione a posição x A com a posição angular da barra A B .

Repare que temos um triângulo formado dentro da figura:

Vamos usar a lei dos senos para relacionar essas coisas:

x A s e n   θ = L s e n o   60 °

Então a posição x A será:

x A = L 3 2 s e n   θ  

x A = 2 L s e n   θ 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos achar a velocidade da barra A B . Para isso, é só derivarmos a equação da posição que acabamos de achar:

d x A d t = 2 L 3 d ( s e n   θ ) d t

Repare que deixei tudo que é constante 2 L 3 fora da derivada. Então, como o ângulo θ varia no tempo temos que aplicar a regra da cadeia:

d x A d t = v A = 2 L 3   c o s   θ d θ d t

Sabendo que

ω = d θ d t

Então, teremos:

v A = 2 3 L ω c o s   θ

A barra A B está se movendo com uma velocidade constante e que foi chamada de v , então:

v A = v

A nossa equação da velocidade vai ficar:

v = 2 3 L ω c o s   θ

Mas essa velocidade v é dada no enunciado. O que queremos saber é a velocidade angular ω da barra A B . Então, vamos isolar ω na nossa equação:

ω =   3 v 2 L c o s   θ

Beleza?

Passo 3

Maaaas.... O enunciado pede a velocidade angular da barra A B em função de x A , ou seja, temos que arranjar um jeito de sumir com o ângulo θ e fazer surgir x A .

Lembra da lei dos senos que usamos lá no início do exercício? Vamos pegar aquela equação de volta:

x A = 2 L s e n   θ 3

Só que agora vamos isolar o s e n   θ e deixar tudo em função de x A :

s e n   θ = x A 3 2 L

Agora é só substituir isso na nossa equação da velocidade angular? Bem que poderia, mas lá não tem s e n   θ :

ω =   3 v 2 L c o s   θ

Tem apenas c o s   θ !!! Então, vamos pensar em uma relação trigonométrica que relacione seno e cosseno...

s e n 2 θ + c o s 2 θ = 1

Agora sim!!! Vamos isolar o c o s   θ nessa relação aí:

c o s   θ =   1 - s e n 2 θ  

Mas sabemos que o nosso s e n   θ é:

s e n   θ = x A 3 2 L

Então, vamos substituir esse valor de s e n   θ na nossa relação que acabamos de montar:

c o s   θ =   1 - x A 3 2 L 2

Vamos ter que:

c o s   θ =   1 - 3 x A 2 4 L 2

Agora sim podemos substituir o c o s   θ na equação da velocidade angular:

ω =   3 v 2 L c o s   θ       →           ω = 3 v 2 L 1 - 3 x A 2 4 L 2

Então, nossa equação da velocidade angular da barra A B é:

ω = 3 v 2 L 1 - 3 x A 2 4 L 2

Resposta

ω = 3 v 2 L 1 - 3 x A 2 4 L 2

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