Exercícios Resolvidos de Movimento Absoluto de Corpos Rígidos

J.L. Meriam e L.G. Kraige, Mecânica para Engenharia, Estática, 6º ed. RJ: LTC, 2012, pp. 252-5/29.

O ponto A recebe uma aceleração constante a para a direita a partir do repouso com x essencialmente nulo. Determine a velocidade angular ω da barra A B em termos de x e a .

Passo 1

Nosso primeiro passo é arranjar um jeito de relacionar a posição x da barra A B com o ângulo θ .

Para isso, repare nos dois triângulos retângulos que as barras formam:

Usando trigonometria obtemos a seguinte relação:

x 2 = b c o s θ

Então:

x = 2 b c o s θ

Pronto, temos a equação da posição da barra A B .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos derivar a equação da posição para obtermos a velocidade:

d x d t = v A B = d ( 2 b c o s θ ) d t

O comprimento b das barras é constante e o ângulo θ depende do tempo, então vamos aplicar a regra da cadeia:

v A B = 2 b d ( c o s θ ) d t       →         v A B = - 2 b s e n θ d θ d t

Não esqueça que a velocidade angular é:

ω = d θ d t

Então, vamos ter:

v A B = - 2 b ω A B s e n θ

A questão pede a velocidade angular ω da barra A B , então vamos isolar ela na equação:

ω A B = - v A B 2 b s e n θ

Passo 3

Repare que a questão pede a velocidade angular da barra A B em função de x e da aceleração a . Veja que o enunciado disse que a aceleração a é constante, então podemos usar uma daquelas equações de movimento retilíneo para aceleração constante.

Mas tem que ser uma equação que relacione a velocidade, a aceleração e a posição. Vamos usar essa aqui:

v 2 = v 0 2 + 2 a ( x -   x 0 )

Sabemos que as barrinhas partem do repouso e que a velocidade inicial é nula, então:

v 2 = 2 a x

Então:

v A B = 2 a x

Opa, agora vamos substituir isso na equação da velocidade angular ω A B :

ω A B = - v A B 2 b s e n   θ         →             ω A B = - 2 a x 2 b s e n   θ

Agora só falta retirarmos a variável θ da equação e fazer aparecer o x . Nesta parte vamos ter aquela sacada de mestre. Sabemos da trigonometria que:

s e n 2 θ + c o s 2 θ = 1

Isolando o s e n θ vamos ter:

s e n   θ = 1 - c o s 2 θ

Vamos substituir isso na nossa equação:

ω A B = - 2 a x 2 b s e n   θ         →         ω A B = - 2 a x 2 b 1 - c o s 2 θ

Por que fizemos isso? Porque a equação que aparece o x é a primeira que achamos:

x = 2 b cos ⁡ θ

E nessa equação também aparece o cos ⁡ θ , por isso tínhamos que fazer aparecer o cos ⁡ θ na nossa equação de velocidade angular.

Está quase terminando...

Vamos isolar o cos ⁡ θ :

cos ⁡ θ = x 2 b

E agora substituir na equação da velocidade angular:

ω A B = - 2 a x 2 b 1 - c o s 2 θ         →         ω A B = - 2 a x 2 b 1 - ( x 2 b ) 2    

ω A B = - 2 a x 2 b 1 - x 2 4 b 2

Pronto? Teoricamente sim, mas podemos deixar nossa equação mais bonitinha. Para isso, vamos passar o 2 b para dentro da raiz:

ω A B = - 2 a x 4 b 2 ( 1 - x 2 4 b 2 )

E é só alegria:

ω A B = - 2 a x 4 b 2 - x 2 )

Esse sinal negativo indica que a velocidade angular está no sentido horário, então podemos escrever:

ω A B = 2 a x 4 b 2 - x 2 )   s e n t i d o   h o r á r i o

Resposta

ω A B = 2 a x 4 b 2 - x 2 )   ( s e n t i d o   h o r á r i o )

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas

Muita matéria pra estudar?

Dexter Estudando

Cadastre-se para acessar os Resumões Gratuitos

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas