Exercícios Resolvidos de Movimento Absoluto de Corpos Rígidos

J.L. Meriam e L.G. Kraige, Mecânica para Engenharia, Estática, 6º ed. RJ: LTC, 2012, pp. 252-5/31

O bloco de concreto P está sendo abaixado pelo arranjo de cabo e polia mostrado. Se os pontos A e B têm velocidades de 0,4   m / s e 0,2   m / s , respectivamente, calcule a )   a velocidade de P , b ) a velocidade do ponto C para o instante representado, e c )   a velocidade angular da polia.

Passo 1

A velocidade do ponto B é igual a velocidade onde o cabo do lado esquerdo encontra a polia central. E a mesma coisa ocorre no ponto onde o cabo do lado direito encontra a polia do meio. Então, vou chamar esses pontos também de A e B por terem a mesma velocidade:

Vamos fazer uma linha ligando os pontos B , C e A para ver o que está acontecendo:

Repare que os vetores d s A e d s B apontam para baixo, porque o bloco está descendo. E como a velocidade do ponto A é maior do que a velocidade do ponto B , vamos ter que:

d s A > d s B

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos analisar como um movimento circular:

Vamos ter que a variação da posição entre os pontos A e B ( d s A - d s B ) será igual ao comprimento do arco do círculo que é a trajetória do movimento:

d s A - d s B = A B - d θ

Agora é só derivar para achar a velocidade:

d s A - d s B d t = A B - d θ d t

Sabendo que:

ω = d θ d t

Então:

v A - v B = A B - ω

Vamos isolar a velocidade angular que é o que não sabemos:

ω = v A - v B A B -

Vamos substituir o que já sabemos: v A = 0,4   m / s , v B = 0 , 2   m / s e A B - = 0,4   m

ω = 0,4 - 0,2 0,4

ω = 0,5   r a d / s

Essa é a velocidade angular da polia.

Passo 3

Agora temos que achar a velocidade do bloco P . Para isso, vamos fazer uma reta ligando os pontos B e o centro da polia que vamos chamar de O :

Teremos o seguinte:

A nossa equação da posição vai ficar:

d s P - d s B = B O - d θ

Para achar a velocidade é só derivar:

v P - v B = B O - ω

Como queremos a velocidade do bloquinho P , então vamos isolar v P na equação:

v P = v B + B O - ω

Já sabemos que v B = 0,2   m / s , ω = 0,5   r a d / s e B O - = 0,2   m , então:

v P = v B + B O - ω     →         v P = 0,2 + 0,2 ( 0,5 )

v P = 0,3   m / s

Passo 4

Agora falta acharmos a velocidade do ponto C . Para isso, vamos fazer uma reta ligando os pontos B e C :

Temos que:

d s C - d s B = B C - d θ

Para saber a velocidade do ponto C é só derivar:

v C - v B = B C - ω

Vamos isolar v C que é o que queremos saber:

v C = v B + B C - ω

Repare que B C - é:

B C - = 0,2 - 0,1

B C - = 0,1   m

Agora é só substituirmos os valores que já temos: v B = 0,2   m / s , ω = 0,5   r a d / s B C - = 0,1   m

v C = v B + B C - ω       →           v C = 0,2 + 0,1 ( 0,5 )

v C = 0,25   m / s

Essa é a velocidade do ponto C .

Resposta

a )   v P = 0,3   m / s

b )   v C = 0,25   m / s

c )   ω = 0,5   r a d / s  

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